Номер 5.14, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.14. Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята точка N, такая, что $ \angle NBC = 30^{\circ} $, $ \angle NCB = 10^{\circ} $. Найдите угол ANC, если $ \angle BAC = 80^{\circ} $.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому углы при основании можно найти следующим образом:$\angle ABC = \angle ACB = (180^\circ - \angle BAC) / 2 = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 100^\circ / 2 = 50^\circ$.

Нам даны углы, связанные с точкой $N$: $\angle NBC = 30^\circ$ и $\angle NCB = 10^\circ$. Используя эту информацию, мы можем найти другие углы в треугольнике:$\angle ABN = \angle ABC - \angle NBC = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ$.$\angle ACN = \angle ACB - \angle NCB = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BNC$. Сумма его углов равна $180^\circ$, поэтому:$\angle BNC = 180^\circ - (\angle NBC + \angle NCB) = 180^\circ - (30^\circ + 10^\circ) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Для нахождения угла $\angle ANC$ воспользуемся тригонометрическим подходом, применив теорему синусов.Сначала применим теорему синусов к треугольнику $ABC$:$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$$\frac{AC}{\sin(50^\circ)} = \frac{BC}{\sin(80^\circ)}$Отсюда выразим сторону $AC$:$AC = BC \cdot \frac{\sin(50^\circ)}{\sin(80^\circ)}$.

Теперь применим теорему синусов к треугольнику $BNC$:$\frac{NC}{\sin(\angle NBC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BNC)}$$\frac{NC}{\sin(30^\circ)} = \frac{BC}{\sin(140^\circ)}$Отсюда выразим сторону $NC$:$NC = BC \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(140^\circ)}$.

Сравним выражения для сторон $AC$ и $NC$. Для этого преобразуем тригонометрические функции:$\sin(140^\circ) = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin(40^\circ)$$\sin(50^\circ) = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \cos(40^\circ)$$\sin(80^\circ) = \sin(2 \cdot 40^\circ) = 2\sin(40^\circ)\cos(40^\circ)$$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Подставим преобразованные выражения в формулы для $AC$ и $NC$:$AC = BC \cdot \frac{\cos(40^\circ)}{2\sin(40^\circ)\cos(40^\circ)} = \frac{BC}{2\sin(40^\circ)}$$NC = BC \cdot \frac{1/2}{\sin(40^\circ)} = \frac{BC}{2\sin(40^\circ)}$Таким образом, мы получили, что $AC = NC$.

Поскольку стороны $AC$ и $NC$ равны, треугольник $ACN$ является равнобедренным с основанием $AN$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы, противолежащие равным сторонам $AC$ и $NC$, это $\angle ANC$ и $\angle NAC$ (или $\angle CAN$) соответственно. Следовательно:$\angle ANC = \angle CAN$.

Сумма углов в треугольнике $ACN$ равна $180^\circ$. Мы знаем угол при вершине $C$: $\angle ACN = 40^\circ$.$\angle ANC + \angle CAN + \angle ACN = 180^\circ$Пусть $\angle ANC = x$. Тогда $\angle CAN = x$.$x + x + 40^\circ = 180^\circ$$2x = 140^\circ$$x = 70^\circ$Следовательно, $\angle ANC = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.