Номер 5.8, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.8. На рисунке 5.4 $PN = NT$, $PK$ – биссектриса угла $MPT$, $\angle NPT = 70^\circ$, $\angle PKM = 55^\circ$. Докажите, что прямые $PT$ и $MK$ параллельны. Найдите $\angle PKT$.

Рис. 5.4

Докажите, что прямые PT и MK параллельны

1. Из условия, что $PK$ является биссектрисой угла $MPT$, а также из того, что в задаче задан угол $\angle NPT$, следует, что точки $M$, $P$ и $N$ лежат на одной прямой. Таким образом, углы $\angle MPT$ и $\angle NPT$ являются смежными.

2. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Исходя из этого, найдем величину угла $\angle MPT$:

$\angle MPT = 180^\circ - \angle NPT = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

3. По условию, $PK$ — биссектриса угла $MPT$. Это значит, что она делит угол на два равных угла:

$\angle MPK = \angle KPT = \frac{\angle MPT}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $\triangle PMK$. В этом треугольнике нам известны два угла: $\angle MPK = 55^\circ$ (из предыдущего шага) и $\angle PKM = 55^\circ$ (по условию).

5. Зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, найдем третий угол $\angle PMK$:

$\angle PMK = 180^\circ - (\angle MPK + \angle PKM) = 180^\circ - (55^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

6. Теперь докажем параллельность прямых $PT$ и $MK$. Рассмотрим эти прямые и секущую $NM$. Углы $\angle NPT$ и $\angle PMK$ (который также является углом $\angle NMK$) являются соответственными.

7. Сравним величины этих углов: $\angle NPT = 70^\circ$ (по условию) и $\angle PMK = 70^\circ$ (как было найдено в шаге 5).

Поскольку соответственные углы равны ($\angle NPT = \angle PMK$), то по признаку параллельности прямых, прямые $PT$ и $MK$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Найдите ∠PKT

1. Рассмотрим треугольник $\triangle NPT$. Согласно условию, $PN = NT$. Это означает, что $\triangle NPT$ — равнобедренный.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы, лежащие напротив равных сторон $PN$ и $NT$, это $\angle NTP$ и $\angle NPT$. Следовательно, $\angle NTP = \angle NPT$.

3. По условию $\angle NPT = 70^\circ$, поэтому и $\angle NTP = 70^\circ$.

4. Мы уже доказали, что $PT \parallel MK$. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $NK$.

5. Углы $\angle NTP$ и $\angle NKM$ являются соответственными при параллельных прямых и секущей, а значит, они равны:

$\angle NKM = \angle NTP = 70^\circ$.

6. Угол $\angle NKM$ состоит из двух углов: $\angle PKT$ и $\angle PKM$ (поскольку точка $T$ лежит на отрезке $NK$, угол $\angle PKN$ и угол $\angle PKT$ — это один и тот же угол).

Таким образом, можно записать: $\angle NKM = \angle PKT + \angle PKM$.

7. Подставим известные значения в это равенство: $\angle NKM = 70^\circ$ (из шага 5) и $\angle PKM = 55^\circ$ (по условию).

$70^\circ = \angle PKT + 55^\circ$.

8. Из этого уравнения находим искомый угол $\angle PKT$:

$\angle PKT = 70^\circ - 55^\circ = 15^\circ$.

Ответ: $\angle PKT = 15^\circ$.