Номер 5.1, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.1. Зная, что $AB = 8$, $K$ – середина отрезка $AB$, найдите на прямой $AB$ все такие точки $X$, чтобы выполнялось равенство $AX + BX + KX = 9$. Покажите эти точки на рисунке.

По условию задачи дан отрезок $AB$ с длиной $AB=8$, и точка $K$ является его серединой. Необходимо найти все точки $X$ на прямой $AB$, для которых выполняется равенство $AX + BX + KX = 9$.

Поскольку $K$ — середина отрезка $AB$, то длины отрезков $AK$ и $KB$ равны: $AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Для нахождения точки $X$ рассмотрим все возможные её расположения на прямой $AB$.

Случай 1: Точка X лежит на отрезке AB

Если точка $X$ находится между точками $A$ и $B$, то сумма расстояний от $X$ до концов отрезка всегда равна длине самого отрезка, то есть $AX + BX = AB$.

Подставим это выражение в исходное равенство:

$AB + KX = 9$

Зная, что $AB = 8$, получаем:

$8 + KX = 9$

Отсюда находим расстояние от точки $X$ до точки $K$:

$KX = 1$

Таким образом, искомые точки $X$ должны лежать на отрезке $AB$ и находиться на расстоянии 1 от его середины $K$. Таких точек две:

• Первая точка, назовем её $X_1$, лежит между $A$ и $K$. Её расстояние от точки $A$ составляет $AX_1 = AK - KX_1 = 4 - 1 = 3$.
• Вторая точка, $X_2$, лежит между $K$ и $B$. Её расстояние от точки $A$ составляет $AX_2 = AK + KX_2 = 4 + 1 = 5$.

Обе точки, $X_1$ и $X_2$, удовлетворяют условию и являются решениями.

Случай 2: Точка X лежит вне отрезка AB

Теперь рассмотрим варианты, когда точка $X$ не принадлежит отрезку $AB$.

а) Точка X лежит на прямой левее точки A.

В этом случае порядок точек на прямой следующий: X, A, K, B. Расстояния $BX$ и $KX$ можно выразить через $AX$:

$BX = BA + AX = 8 + AX$

$KX = KA + AX = 4 + AX$

Подставим в исходное уравнение:

$AX + (8 + AX) + (4 + AX) = 9$

$3 \cdot AX + 12 = 9$

$3 \cdot AX = -3$

$AX = -1$

Расстояние не может быть отрицательным, значит, в этом случае решений нет.

б) Точка X лежит на прямой правее точки B.

Теперь порядок точек такой: A, K, B, X. Расстояния $AX$ и $KX$ можно выразить через $BX$:

$AX = AB + BX = 8 + BX$

$KX = KB + BX = 4 + BX$

Подставляем в исходное уравнение:

$(8 + BX) + BX + (4 + BX) = 9$

$3 \cdot BX + 12 = 9$

$3 \cdot BX = -3$

$BX = -1$

Снова получаем отрицательное расстояние, что невозможно. В этом случае также нет решений.

Положение точек на рисунке:

На рисунке показаны точки $A$, $B$, середина отрезка $K$ и найденные точки $X_1$ и $X_2$.

Ответ: Существуют две точки, удовлетворяющие условию. Первая точка $X_1$ расположена на отрезке $AB$ на расстоянии 3 от точки $A$ (между $A$ и $K$). Вторая точка $X_2$ расположена на отрезке $AB$ на расстоянии 5 от точки $A$ (между $K$ и $B$).