Номер 4.74, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.74*. Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $A$. На стороне $AB$ постройте точку $K$, находящуюся на расстоянии $AK$ от прямой $BC$.

Анализ

Пусть K — искомая точка на стороне AB прямоугольного треугольника ABC (угол A — прямой). Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую BC. По условию задачи, расстояние от K до BC равно AK, то есть $KH = AK$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KBH (угол H — прямой). В нем катет $KH = KB \cdot \sin(\angle B)$.

В исходном треугольнике ABC, $\sin(\angle B) = \frac{AC}{BC}$.

Подставим это в выражение для KH: $KH = KB \cdot \frac{AC}{BC}$.

Так как по условию $KH = AK$, получаем: $AK = KB \cdot \frac{AC}{BC}$.

Точка K лежит на отрезке AB, поэтому $KB = AB - AK$.

Подставим это в наше равенство:

$AK = (AB - AK) \cdot \frac{AC}{BC}$

$AK \cdot BC = (AB - AK) \cdot AC$

$AK \cdot BC = AB \cdot AC - AK \cdot AC$

$AK \cdot BC + AK \cdot AC = AB \cdot AC$

$AK \cdot (BC + AC) = AB \cdot AC$

Отсюда находим длину отрезка AK:

$AK = \frac{AB \cdot AC}{BC + AC}$

Это соотношение можно переписать в виде пропорции: $\frac{AK}{AC} = \frac{AB}{BC + AC}$. Данную пропорцию можно построить с помощью циркуля и линейки, используя теорему Фалеса (обобщенную теорему о пропорциональных отрезках).

Построение

1. На луче BC от точки C отложим отрезок CD, равный по длине отрезку AC. Точка C будет лежать между B и D. Таким образом, мы строим отрезок BD, длина которого равна $BC + AC$.
2. Соединим точки A и D отрезком. Получим треугольник ABD.
3. Через точку C проведем прямую, параллельную отрезку AD. Для этого можно, например, построить угол BСM, равный углу BDA, так, чтобы точка M лежала на отрезке AB.
4. Точка пересечения этой прямой со стороной AB и будет искомой точкой K.

Ответ: Точка K построена как пересечение стороны AB и прямой, проходящей через точку C параллельно прямой AD, где точка D такова, что B-C-D и CD=AC.

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABD и прямую CK, которая пересекает стороны AB и BD. По построению прямая CK параллельна прямой AD ($CK \parallel AD$).

По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от двух других сторон пропорциональные отрезки:

$\frac{BK}{BA} = \frac{BC}{BD}$

По построению $BD = BC + AC$. Следовательно:

$\frac{BK}{AB} = \frac{BC}{BC + AC}$

Выразим отсюда BK: $BK = \frac{AB \cdot BC}{BC + AC}$.

Так как $AK = AB - BK$, то:

$AK = AB - \frac{AB \cdot BC}{BC + AC} = \frac{AB(BC+AC) - AB \cdot BC}{BC+AC} = \frac{AB \cdot BC + AB \cdot AC - AB \cdot BC}{BC+AC} = \frac{AB \cdot AC}{BC+AC}$.

Теперь найдем расстояние от точки K до прямой BC. Опустим перпендикуляр KH на BC. Из подобия прямоугольных треугольников ABC и KBH (по общему острому углу B) следует:

$\frac{KH}{AC} = \frac{KB}{BC}$

Отсюда $KH = \frac{KB \cdot AC}{BC}$. Подставим найденное ранее выражение для KB:

$KH = \frac{(\frac{AB \cdot BC}{BC + AC}) \cdot AC}{BC} = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{(BC + AC) \cdot BC} = \frac{AB \cdot AC}{BC + AC}$.

Сравнивая выражения для AK и KH, видим, что $AK = KH$. Таким образом, построенная точка K удовлетворяет условию задачи. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что для построенной точки K выполняется равенство $AK = KH$.

Исследование

Построение всегда возможно, если дан невырожденный прямоугольный треугольник ABC.

1. Построение точки D на продолжении стороны BC единственно.
2. Прямая AD определяется однозначно.
3. Через точку C можно провести единственную прямую, параллельную AD.
4. Так как прямые AB и AD не параллельны (они пересекаются в точке A), то прямая CK, будучи параллельной AD, не будет параллельна AB. Следовательно, прямые CK и AB пересекаются в единственной точке K.
5. Проверим, лежит ли точка K на отрезке AB. Из пропорции $\frac{BK}{AB} = \frac{BC}{BC + AC}$ следует, что $0 < \frac{BC}{BC+AC} < 1$. Значит, $0 < BK < AB$. Это означает, что точка K всегда лежит строго между точками A и B.

Таким образом, задача всегда имеет ровно одно решение.

Ответ: Задача имеет единственное решение.