Номер 4.67, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.67. Даны прямая $a$ и отрезок $AB$. Постройте прямую $m$, параллельную прямой $a$ так, чтобы расстояние между прямыми $a$ и $m$ было равно $AB$.

Для построения прямой $m$, параллельной данной прямой $a$ на расстоянии, равном отрезку $AB$, необходимо выполнить следующую последовательность действий с помощью циркуля и линейки без делений.

Анализ задачи

Искомая прямая $m$ должна быть параллельна прямой $a$. Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Следовательно, нам нужно найти геометрическое место точек, удаленных от прямой $a$ на расстояние, равное длине отрезка $AB$. Таким геометрическим местом являются две прямые, параллельные $a$ и расположенные по разные стороны от нее. В рамках задачи достаточно построить одну из них.

Алгоритм построения

1. На прямой $a$ выберем произвольную точку $C$.
2. Через точку $C$ построим прямую $p$, перпендикулярную прямой $a$. Для этого:
   • Установим острие циркуля в точку $C$ и произвольным радиусом проведем дугу, пересекающую прямую $a$ в двух точках (назовем их $D$ и $E$).
   • Из точек $D$ и $E$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина $DE$) так, чтобы они пересеклись в точке $F$.
   • Соединив точки $C$ и $F$, получим прямую $p$, перпендикулярную $a$ ($p \perp a$).
3. Измерим циркулем длину отрезка $AB$, установив его ножки в точки $A$ и $B$.
4. На перпендикуляре $p$ отложим отрезок, равный $AB$. Для этого установим острие циркуля в точку $C$ и радиусом, равным длине $AB$, сделаем засечку на прямой $p$. Обозначим эту точку как $M$. Таким образом, $|CM| = |AB|$.
5. Через точку $M$ построим прямую $m$, параллельную прямой $a$. Самый простой способ — построить прямую, перпендикулярную $p$ и проходящую через точку $M$. Построение выполняется аналогично шагу 2. Полученная прямая $m$ и будет искомой.

Доказательство

По построению мы имеем $p \perp a$ (шаг 2) и $p \perp m$ (шаг 5). Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, прямые $a$ и $m$ параллельны: $a \parallel m$.

Расстояние между параллельными прямыми $a$ и $m$ измеряется по их общему перпендикуляру. Отрезок $CM$ лежит на прямой $p$, которая перпендикулярна обеим прямым, следовательно, его длина $|CM|$ и есть расстояние между $a$ и $m$. По построению (шаг 4) мы сделали $|CM| = |AB|$.

Таким образом, построенная прямая $m$ параллельна прямой $a$, и расстояние между ними равно длине отрезка $AB$. Задача решена.

Следует отметить, что задача имеет два решения, так как в шаге 4 мы можем отложить отрезок на прямой $p$ по любую из двух сторон от прямой $a$, получив две параллельные прямые, удовлетворяющие условию.

Ответ: Искомая прямая $m$ строится следующим образом: на прямой $a$ выбирается произвольная точка, через нее проводится перпендикуляр к прямой $a$. На этом перпендикуляре откладывается отрезок, равный по длине отрезку $AB$. Через конец этого отрезка проводится прямая, перпендикулярная построенному перпендикуляру. Эта прямая и будет искомой.