Номер 4.61, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.61. На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух данных точек.

Пусть дана прямая l и две точки A и B. Требуется найти на прямой l точку P, для которой выполняется равенство расстояний $PA = PB$.

Анализ

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек A и B, является прямой, перпендикулярной отрезку AB и проходящей через его середину. Эта прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку AB. Обозначим эту прямую буквой m.

Искомая точка P должна одновременно принадлежать двум прямым:

1. Данной прямой l (согласно условию).

2. Серединному перпендикуляру m (так как $PA = PB$).

Таким образом, искомая точка P есть точка пересечения прямой l и серединного перпендикуляра m.

Построение

Алгоритм построения искомой точки с помощью циркуля и линейки:

1. Соединяем точки A и B отрезком.

2. Строим серединный перпендикуляр m к отрезку AB. Для этого:

а) Устанавливаем на циркуле радиус R, больший половины длины отрезка AB ($R > \frac{1}{2}AB$).

б) Из точек A и B как из центров проводим дуги окружностей до их взаимного пересечения в двух точках (назовем их $C_1$ и $C_2$).

в) Проводим прямую через точки $C_1$ и $C_2$. Эта прямая m и является серединным перпендикуляром.

3. Находим точку пересечения прямой m и данной прямой l. Эта точка и будет искомой точкой P.

Исследование

Задача может иметь разное число решений в зависимости от взаимного расположения прямой l и точек A и B.

1. Одно решение (общий случай). Если прямая l не перпендикулярна прямой, проходящей через точки A и B, то она пересечет серединный перпендикуляр m в одной точке. В этом случае существует единственное решение.

2. Нет решений. Если прямая l перпендикулярна прямой AB, но не проходит через середину отрезка AB. В этом случае прямая l будет параллельна серединному перпендикуляру m, и у них не будет общих точек. Решений нет.

3. Бесконечно много решений. Если прямая l является серединным перпендикуляром к отрезку AB. В этом случае прямые l и m совпадают, и любая точка прямой l является решением.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения данной прямой l и серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему две данные точки A и B. Задача имеет единственное решение, если данная прямая не перпендикулярна прямой AB; не имеет решений, если данная прямая перпендикулярна прямой AB, но не проходит через середину отрезка AB; имеет бесконечно много решений, если данная прямая является серединным перпендикуляром к отрезку AB.