Номер 4.59, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.59. На прямой, содержащей сторону $BC$ треугольника $ABC$, постройте точку, равноудаленную от вершин $A$ и $C$.

Анализ задачи

По условию задачи требуется найти точку, назовем ее P, которая удовлетворяет двум условиям: 1) точка P должна лежать на прямой, содержащей сторону BC треугольника ABC; 2) точка P должна быть равноудалена от вершин A и C, то есть должно выполняться равенство $PA = PC$.

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае A и C), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки (отрезок AC).

Таким образом, искомая точка P должна одновременно принадлежать двум прямым: прямой, содержащей сторону BC, и серединному перпендикуляру к стороне AC. Следовательно, точка P является точкой пересечения этих двух прямых.

Построение

Для нахождения искомой точки необходимо выполнить следующие шаги с помощью циркуля и линейки:

1. Соединить точки A и C отрезком AC.

2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку AC. Обозначим его $m$. Для этого:

а) Из точки A как из центра провести дугу окружности радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка AC.

б) Из точки C как из центра провести дугу окружности тем же радиусом $R$.

в) Дуги пересекутся в двух точках. Провести прямую через эти две точки пересечения. Эта прямая $m$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку AC.

3. Найти точку пересечения прямой $m$ и прямой, содержащей сторону BC. Эта точка пересечения, обозначим ее P, и будет искомой точкой.

Доказательство

Построенная точка P удовлетворяет всем условиям задачи.

Во-первых, по построению точка P лежит на прямой, содержащей сторону BC, так как она является точкой пересечения серединного перпендикуляра с этой прямой.

Во-вторых, точка P лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку AC. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, расстояние от P до A равно расстоянию от P до C, то есть $PA = PC$.

Таким образом, P — это точка на прямой BC, равноудаленная от вершин A и C, что и требовалось найти.

Исследование

Рассмотрим количество возможных решений. Решение задачи определяется пересечением двух прямых: прямой, содержащей сторону BC, и серединного перпендикуляра $m$ к отрезку AC.

1. Единственное решение. В общем случае, когда прямая BC не перпендикулярна отрезку AC, прямые BC и $m$ не параллельны и пересекаются в одной-единственной точке. В этом случае задача имеет уникальное решение.

2. Нет решений. Если прямая BC перпендикулярна отрезку AC, то есть угол $\angle ACB$ является прямым ($\angle ACB = 90^\circ$), то серединный перпендикуляр $m$ к AC также будет перпендикулярен AC. Две прямые (BC и $m$), перпендикулярные третьей прямой (AC), параллельны между собой. Так как прямая BC проходит через точку C, а прямая $m$ проходит через середину отрезка AC, эти прямые не совпадают. Параллельные и несовпадающие прямые не пересекаются, следовательно, в этом случае решений не существует.

Ответ:

Искомая точка является точкой пересечения прямой, содержащей сторону BC, и серединного перпендикуляра к отрезку AC. Построение этой точки описано выше. Задача имеет единственное решение, за исключением случая, когда прямая BC перпендикулярна отрезку AC (в этом случае решений нет).