Номер 4.58, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.58. Даны окружность, точки $A$, $B$ и отрезок $PQ$. Постройте $\triangle ABC$ так, чтобы вершина $C$ лежала на окружности и $AC = PQ$.

Анализ задачи

Искомая вершина C треугольника $\triangle ABC$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Вершина C лежит на данной окружности. Обозначим эту окружность $\omega$. Это означает, что C принадлежит геометрическому месту точек (ГМТ), которое представляет собой данную окружность.

2. Сторона $AC$ должна быть равна отрезку $PQ$, то есть $AC = PQ$. Это означает, что точка C принадлежит ГМТ, которое представляет собой окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка $PQ$. Обозначим эту окружность $\omega'$.

Таким образом, искомая точка C является точкой пересечения двух геометрических мест — данной окружности $\omega$ и построенной окружности $\omega'$.

Построение

Пусть нам дана окружность $\omega$ (с условным центром O), точки A и B, и отрезок PQ.

1. С помощью циркуля измеряем длину отрезка PQ. Устанавливаем иглу циркуля в точку P, а грифель — в точку Q. Раствор циркуля теперь равен длине $r = PQ$.
2. Не меняя раствора циркуля, строим вспомогательную окружность $\omega'$ с центром в точке A и радиусом $r = PQ$.
3. Находим точки пересечения окружности $\omega'$ и данной окружности $\omega$. Эти точки (если они существуют) являются возможными положениями вершины C. Обозначим их C₁ и C₂.
4. Выбираем одну из найденных точек, например C₁, и соединяем её отрезками с точками A и B. Полученный треугольник $\triangle ABC_1$ является искомым. Если существует вторая точка пересечения C₂, то треугольник $\triangle ABC_2$ также является решением.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $\triangle ABC_1$. По построению, вершина C₁ лежит на данной окружности $\omega$. Также, по построению, точка C₁ лежит на окружности $\omega'$ с центром в точке A и радиусом $r = PQ$. Следовательно, расстояние $AC_1$ равно радиусу окружности $\omega'$, то есть $AC_1 = PQ$. Таким образом, треугольник $\triangle ABC_1$ удовлетворяет всем условиям задачи. Аналогичное доказательство справедливо и для $\triangle ABC_2$, если точка C₂ существует.

Исследование

Число возможных решений задачи зависит от взаимного расположения окружностей $\omega$ и $\omega'$. Пусть R — радиус данной окружности $\omega$ с центром в O, $r = PQ$ — радиус построенной окружности $\omega'$ с центром в A, и $d = OA$ — расстояние между их центрами.

• Два решения: Задача имеет два решения, если окружности $\omega$ и $\omega'$ пересекаются в двух различных точках. Это происходит, когда выполняется неравенство $|R - r| < d < R + r$. В этом случае можно построить два разных треугольника: $\triangle ABC_1$ и $\triangle ABC_2$.
• Одно решение: Задача имеет одно решение, если окружности касаются друг друга (в одной точке). Это происходит, когда $d = R + r$ (внешнее касание) или $d = |R - r|$ (внутреннее касание, при $R \neq r$).
• Нет решений: Задача не имеет решений, если окружности не имеют общих точек. Это происходит, когда $d > R + r$ (окружности расположены одна вне другой) или $d < |R - r|$ (одна окружность полностью внутри другой).
• Бесконечно много решений: Этот случай возникает, если окружности совпадают. Для этого необходимо, чтобы их центры совпадали ($A \equiv O$, то есть $d = 0$) и их радиусы были равны ($R = r = PQ$). Тогда любая точка на данной окружности может быть выбрана в качестве вершины C.

Ответ: Для построения треугольника $\triangle ABC$ необходимо выполнить следующие действия: 1. Построить окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка PQ. 2. Найти точки пересечения этой окружности с данной окружностью. Каждая точка пересечения является возможным положением вершины C. 3. Соединить точки A, B и найденную точку C для получения искомого треугольника. В зависимости от взаимного расположения исходных данных (окружности, точки A и длины отрезка PQ) задача может иметь два, одно, ни одного или бесконечно много решений.