Номер 4.54, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.54. Проведите через данную точку прямую, касающуюся данной окружности.

Решение этой задачи зависит от расположения данной точки относительно данной окружности. Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: Точка находится вне окружности

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и точка $A$, расположенная вне этой окружности (то есть расстояние $OA > R$). Требуется построить прямую, проходящую через точку $A$ и касающуюся окружности $\omega$.

Анализ:

Пусть $l$ — искомая касательная, проходящая через точку $A$ и касающаяся окружности $\omega$ в точке $T$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OT$ перпендикулярен прямой $l$, что означает $\angle OTA = 90^\circ$.

Это значит, что точка касания $T$ должна лежать на окружности, для которой отрезок $OA$ является диаметром. Таким образом, чтобы найти точку касания $T$, нужно найти точки пересечения данной окружности $\omega$ и вспомогательной окружности, построенной на отрезке $OA$ как на диаметре.

Построение:

1. Соединяем центр окружности $O$ с данной точкой $A$.
2. Находим середину отрезка $OA$. Обозначим ее точкой $M$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к отрезку $OA$.
3. Строим вспомогательную окружность с центром в точке $M$ и радиусом, равным $OM$ (или $MA$).
4. Эта вспомогательная окружность пересечет данную окружность $\omega$ в двух точках. Обозначим их $T_1$ и $T_2$. Это и есть искомые точки касания.
5. Проводим прямые через точку $A$ и каждую из точек касания: прямую $AT_1$ и прямую $AT_2$. Эти прямые являются искомыми касательными.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $\triangle OT_1A$. Точка $T_1$ лежит на вспомогательной окружности с диаметром $OA$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, угол $\angle OT_1A$ является прямым ($\angle OT_1A = 90^\circ$). Так как прямая $AT_1$ проходит через точку $T_1$ на окружности $\omega$ и перпендикулярна радиусу $OT_1$, то по определению $AT_1$ является касательной к окружности $\omega$. Аналогично доказывается, что $AT_2$ также является касательной.

Ответ: Если точка лежит вне окружности, то существуют две различные касательные, проходящие через эту точку.

Случай 2: Точка находится на окружности

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$, и точка $A$, лежащая на этой окружности.

Анализ:

Искомая касательная по определению должна проходить через точку $A$ и быть перпендикулярной радиусу, проведенному в точку касания, то есть радиусу $OA$.

Построение:

1. Проводим радиус $OA$, соединяя центр окружности $O$ с данной точкой $A$ на окружности.
2. В точке $A$ строим прямую, перпендикулярную отрезку $OA$. Эта прямая и будет искомой касательной.

Ответ: Если точка лежит на окружности, то существует ровно одна касательная, проходящая через эту точку.

Случай 3: Точка находится внутри окружности

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$, и точка $A$, лежащая внутри этой окружности (то есть расстояние $OA < R$).

Анализ:

Любая прямая, проходящая через точку $A$, расположенную внутри окружности, является секущей. Это означает, что она будет пересекать окружность в двух точках. Касательная же по определению имеет с окружностью ровно одну общую точку. Следовательно, провести касательную к окружности через точку, лежащую внутри нее, невозможно.

Ответ: Если точка лежит внутри окружности, то провести через нее касательную к этой окружности невозможно. Решений нет.