Номер 4.47, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.47. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Пусть даны три отрезка, определяющие длины двух сторон треугольника, $a$ и $b$, и длину медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$. Требуется построить треугольник $ABC$ с помощью циркуля и линейки, у которого $BC = a$, $AC = b$, и медиана из вершины $A$ на сторону $BC$ равна $m_a$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда $AM$ — это медиана, и по условию $AM = m_a$. Так как $M$ является серединой отрезка $BC$, то длина отрезка $MC$ составляет половину длины стороны $BC$, то есть $MC = \frac{1}{2}a$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMC$. В этом треугольнике известны длины всех трех его сторон:

• $AC = b$ (по условию)
• $AM = m_a$ (по условию)
• $MC = \frac{a}{2}$ (как половина стороны $a$)

Следовательно, мы можем построить треугольник $AMC$ по трем сторонам. Построив этот треугольник, мы найдем три точки: $A$, $M$ и $C$. Вершина $B$ искомого треугольника $ABC$ лежит на одной прямой с точками $C$ и $M$, причем $M$ является серединой отрезка $BC$. Значит, точку $B$ можно найти, продлив отрезок $CM$ за точку $M$ на расстояние, равное длине $CM$. Соединив точки $A$ и $B$, мы получим искомый треугольник.

Построение

Алгоритм построения с использованием циркуля и линейки:

1. Построить отрезок $MC$ длиной $\frac{a}{2}$. Для этого можно сначала отложить отрезок длиной $a$, а затем найти его середину, построив серединный перпендикуляр.
2. Построить треугольник $AMC$ по трем известным сторонам. Для этого:
   • Из точки $C$ провести дугу окружности радиусом $b$.
   • Из точки $M$ провести дугу окружности радиусом $m_a$.
   • Точку пересечения этих двух дуг обозначить буквой $A$.
3. Соединить точки $A$, $M$ и $C$ отрезками. Треугольник $AMC$ построен.
4. На луче $CM$ отложить от точки $M$ отрезок $MB$, равный по длине отрезку $MC$.
5. Соединить точку $A$ с точкой $B$ отрезком.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.По построению, сторона $AC$ имеет длину $b$. Сторона $BC$ состоит из двух отрезков $BM$ и $MC$. Так как по построению $MC = \frac{a}{2}$ и $BM = MC$, то $BC = BM + MC = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$. Отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой $M$ стороны $BC$, следовательно, $AM$ является медианой этого треугольника. Длина медианы $AM$ по построению равна $m_a$.Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет стороны и медиану, равные заданным отрезкам.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно выполнить шаг 2 построения, то есть построить вспомогательный треугольник $AMC$. Треугольник можно построить по трем сторонам, если длины этих сторон удовлетворяют неравенству треугольника. В нашем случае это означает, что сумма длин любых двух из отрезков $b$, $m_a$ и $\frac{a}{2}$ должна быть строго больше длины третьего отрезка:

$b + m_a > \frac{a}{2}$

$b + \frac{a}{2} > m_a$

$m_a + \frac{a}{2} > b$

Если эти три условия выполнены, то дуги на шаге 2 пересекутся в двух точках, симметричных относительно прямой $MC$. Это приведет к построению двух равных (конгруэнтных) треугольников, что считается одним решением. Если одно из неравенств превращается в равенство, то точки $A$, $M$, $C$ будут лежать на одной прямой, и треугольник $ABC$ выродится в отрезок. Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то построение невозможно, и задача не имеет решения.

Ответ: Для построения треугольника по двум сторонам $a$, $b$ и медиане $m_a$, проведенной к стороне $a$, следует: 1. Построить вспомогательный треугольник $AMC$ по трем сторонам: $AC = b$, $AM = m_a$ и $MC = a/2$. 2. На прямой $CM$ отложить от точки $M$ отрезок $MB = MC$ в сторону, противоположную $C$. 3. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Полученный $\triangle ABC$ является искомым. Задача имеет решение, если длины $b$, $m_a$ и $a/2$ удовлетворяют неравенствам треугольника.