Номер 4.40, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.40. Даны два угла $(hk)$, $(h_1 k_1)$ и отрезок $PQ$. Постройте треугольник ABC так, чтобы $AB = PQ$, $\angle A = \angle(hk)$, $\angle B = \frac{1}{2}\angle(h_1 k_1)$.

Данная задача является задачей на построение с помощью циркуля и линейки. Для её решения разобьем процесс на несколько стандартных этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. Согласно условию, его сторона $AB$ имеет длину, равную длине отрезка $PQ$. Угол при вершине $A$ ($\angle A$) равен заданному углу $\angle(hk)$, а угол при вершине $B$ ($\angle B$) равен половине заданного угла $\angle(h_1k_1)$. Это классическая задача на построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. Для выполнения построения нам необходимо иметь сторону $AB$ и два угла, $\angle A$ и $\angle B$. Сторона $AB$ и угол $\angle A$ даны непосредственно. Угол $\angle B$ можно получить, построив биссектрису угла $\angle(h_1k_1)$. Вершина $C$ искомого треугольника будет являться точкой пересечения лучей, проведенных из точек $A$ и $B$ под соответствующими углами.

Построение

1. Сначала построим угол, равный $\frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$. Для этого необходимо построить биссектрису данного угла $\angle(h_1k_1)$.

а) Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла $\angle(h_1k_1)$. Точки пересечения окружности со сторонами угла $h_1$ и $k_1$ обозначим $M$ и $N$.

б) Из точек $M$ и $N$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (радиус должен быть больше половины расстояния между $M$ и $N$) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Обозначим точку их пересечения $L$.

в) Проведем луч из вершины угла $\angle(h_1k_1)$ через точку $L$. Этот луч делит угол $\angle(h_1k_1)$ на два равных угла, каждый из которых равен $\frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$.

2. Проведем произвольную прямую $a$ и отметим на ней точку $A$.

3. С помощью циркуля отложим на прямой $a$ от точки $A$ отрезок $AB$, длина которого равна длине данного отрезка $PQ$.

4. От луча $AB$ в выбранной полуплоскости построим угол, равный данному углу $\angle(hk)$, с вершиной в точке $A$. Для этого используем стандартную процедуру копирования угла. Получим луч $m$.

5. От луча $BA$ в той же полуплоскости построим угол, равный $\frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$ (построенному на шаге 1), с вершиной в точке $B$. Получим луч $n$.

6. Точка пересечения лучей $m$ и $n$ является третьей вершиной треугольника. Обозначим её $C$.

7. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB=PQ$ по построению (шаг 3). Угол $\angle A$ равен $\angle(hk)$ по построению (шаг 4). Угол $\angle B$ равен $\frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$ по построению (шаги 1 и 5). Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям, указанным в задаче.

Исследование

Задача имеет решение только в том случае, если лучи $m$ и $n$, построенные на шагах 4 и 5, пересекаются. Лучи, исходящие из концов отрезка ($A$ и $B$) и расположенные в одной полуплоскости, пересекаются тогда и только тогда, когда сумма углов при основании меньше $180^\circ$. Таким образом, для существования треугольника $ABC$ необходимо и достаточно выполнение условия: $\angle A + \angle B < 180^\circ$. Подставив значения из условия, получим: $\angle(hk) + \frac{1}{2}\angle(h_1k_1) < 180^\circ$. Если это условие выполняется, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности). Если же $\angle(hk) + \frac{1}{2}\angle(h_1k_1) \ge 180^\circ$, лучи не пересекутся (будут параллельны или расходящимися), и построить такой треугольник невозможно.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится по стороне $AB=PQ$ и двум прилежащим к ней углам: $\angle A = \angle(hk)$ и $\angle B = \frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$. Для построения угла $\angle B$ сначала строится биссектриса угла $\angle(h_1k_1)$. Задача имеет решение только при выполнении условия $\angle(hk) + \frac{1}{2}\angle(h_1k_1) < 180^\circ$.