Номер 4.37, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.37. Найдите геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой.

Задача состоит в том, чтобы найти геометрическое место точек (ГМТ), то есть множество всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии $d$ (где $d > 0$) от заданной прямой $l$.

По определению, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Искомое геометрическое место точек представляет собой две прямые, параллельные данной прямой $l$ и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии $d$. Проведем полное доказательство этого факта.

Обозначим эти две параллельные прямые как $a$ и $b$. Нам нужно доказать, что любая точка, удовлетворяющая условию, лежит на одной из этих прямых, и любая точка, лежащая на этих прямых, удовлетворяет условию.

1. Докажем, что любая точка на прямых $a$ и $b$ находится на расстоянии $d$ от прямой $l$.

Пусть точка $M$ принадлежит прямой $a$. Прямая $a$ по построению параллельна прямой $l$ и находится на расстоянии $d$ от нее. По определению расстояния между параллельными прямыми, расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой постоянно и равно $d$. Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $l$ равно $d$. Аналогичное рассуждение справедливо для любой точки на прямой $b$. Таким образом, все точки прямых $a$ и $b$ принадлежат искомому ГМТ.

2. Докажем, что любая точка, находящаяся на расстоянии $d$ от прямой $l$, принадлежит одной из прямых $a$ или $b$.

Пусть точка $N$ — это произвольная точка, расстояние от которой до прямой $l$ равно $d$. Опустим из точки $N$ перпендикуляр $NH$ на прямую $l$ (где $H$ — точка на прямой $l$). По условию, длина этого перпендикуляра $NH$ равна $d$. Точка $N$ лежит на прямой, проходящей через нее параллельно прямой $l$. Расстояние между этой прямой и прямой $l$ как раз равно длине их общего перпендикуляра, то есть $d$. В зависимости от того, по какую сторону от прямой $l$ находится точка $N$, эта параллельная прямая совпадет либо с прямой $a$, либо с прямой $b$. Следовательно, точка $N$ обязательно лежит на одной из этих двух прямых.

Таким образом, мы доказали, что искомое геометрическое место точек — это в точности объединение двух прямых $a$ и $b$.

Ответ: Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, — это две прямые, параллельные данной прямой и расположенные по обе стороны от нее на этом расстоянии.