Номер 4.38, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.38. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$. Расстояние между ними является постоянной величиной, обозначим ее $h$. Задача состоит в том, чтобы найти множество всех точек $M$, для которых расстояние до прямой $l_1$ равно расстоянию до прямой $l_2$. Математически это условие записывается как $d(M, l_1) = d(M, l_2)$.

Доказательство состоит из двух частей, так как для описания геометрического места точек (ГМТ) необходимо доказать, что:

1) все точки искомой фигуры обладают заданным свойством;

2) никакие другие точки этим свойством не обладают.

Предположим, что искомое ГМТ — это прямая $c$, которая параллельна прямым $l_1$ и $l_2$ и проходит посередине между ними.

1. Докажем, что каждая точка прямой $c$ равноудалена от $l_1$ и $l_2$.

Пусть точка $M$ лежит на прямой $c$. По определению, прямая $c$ проходит на одинаковом расстоянии от $l_1$ и $l_2$. Это расстояние равно половине расстояния между $l_1$ и $l_2$, то есть $h/2$.

Расстояние от любой точки прямой $c$ до прямой $l_1$ постоянно и равно расстоянию между этими параллельными прямыми, то есть $d(M, l_1) = h/2$. Аналогично, расстояние от любой точки прямой $c$ до прямой $l_2$ равно $d(M, l_2) = h/2$.

Следовательно, для любой точки $M$ на прямой $c$ выполняется равенство $d(M, l_1) = d(M, l_2)$. Это доказывает, что все точки прямой $c$ принадлежат искомому ГМТ.

2. Докажем, что любая точка, равноудаленная от $l_1$ и $l_2$, лежит на прямой $c$.

Пусть точка $M$ равноудалена от прямых $l_1$ и $l_2$. Точка $M$ должна находиться в полосе между прямыми $l_1$ и $l_2$. Если бы она находилась вне этой полосы (например, со стороны $l_1$), то расстояние до $l_2$ было бы равно сумме расстояния до $l_1$ и расстояния между прямыми $h$: $d(M, l_2) = d(M, l_1) + h$. Так как $h > 0$, равенство $d(M, l_1) = d(M, l_2)$ было бы невозможным.

Итак, точка $M$ лежит между $l_1$ и $l_2$. Проведем через точку $M$ прямую, перпендикулярную $l_1$ и $l_2$. Пусть она пересекает $l_1$ в точке $A$ и $l_2$ в точке $B$. Отрезок $AB$ является общим перпендикуляром, и его длина равна расстоянию между прямыми: $AB = h$.

Расстояние от $M$ до $l_1$ — это длина отрезка $MA$, а расстояние до $l_2$ — длина отрезка $MB$. По условию, $MA = MB$. Так как точка $M$ лежит на отрезке $AB$, то $AB = MA + MB$. Заменяя $MB$ на $MA$, получаем $h = MA + MA = 2 \cdot MA$. Отсюда следует, что $MA = h/2$.

Это означает, что любая точка $M$, равноудаленная от $l_1$ и $l_2$, находится на постоянном расстоянии $h/2$ от прямой $l_1$ (и, соответственно, от $l_2$). Множество всех таких точек, как известно, образует прямую, параллельную $l_1$ и проходящую между $l_1$ и $l_2$. Это и есть прямая $c$.

Таким образом, мы доказали, что искомое геометрическое место точек в точности совпадает с множеством точек прямой $c$.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, есть прямая, параллельная этим двум прямым и проходящая посередине между ними.