Номер 4.42, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.42. Постройте равнобедренный треугольник:

1) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию;

2) по основанию и углу при основании;

3) по боковой стороне и углу при вершине;

4) по основанию и боковой стороне;

5) по основанию и медиане, проведенной к основанию.

1) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию;

Пусть дана боковая сторона длиной $b$ и угол, противолежащий основанию (то есть угол при вершине), равный $\alpha$.

1. Проведем произвольный луч с началом в точке $A$. Точка $A$ будет вершиной искомого треугольника.
2. От этого луча в точке $A$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим второй луч, выходящий из точки $A$.
3. На обоих лучах отложим от точки $A$ отрезки, равные длине боковой стороны $b$. Получим точки $B$ и $C$ так, что $AB = AC = b$.
4. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком.
5. Треугольник $ABC$ является искомым равнобедренным треугольником, так как у него две стороны ($AB$ и $AC$) равны $b$, а угол между ними ($\angle BAC$) равен $\alpha$.

Ответ: Треугольник построен.

2) по основанию и углу при основании;

Пусть дано основание длиной $a$ и угол при основании, равный $\beta$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

1. Построим отрезок $BC$ длиной, равной данному основанию $a$.
2. В точке $B$ отложим угол, равный данному углу $\beta$, так, чтобы одна его сторона совпадала с лучом $BC$. Проведем второй луч из точки $B$.
3. В точке $C$ отложим угол, равный тому же углу $\beta$, так, чтобы одна его сторона совпадала с лучом $CB$. Проведем второй луч из точки $C$ в ту же полуплоскость относительно прямой $BC$.
4. Точку пересечения построенных лучей обозначим $A$.
5. Треугольник $ABC$ является искомым. Его основание $BC$ равно $a$, а углы при основании $\angle ABC$ и $\angle ACB$ равны $\beta$. По признаку равнобедренного треугольника, если углы при основании равны, то и противолежащие им стороны $AB$ и $AC$ равны.

Ответ: Треугольник построен.

3) по боковой стороне и углу при вершине;

Данная задача полностью совпадает с задачей 1), так как "угол, противолежащий основанию" и "угол при вершине" — это один и тот же угол в равнобедренном треугольнике. Пусть дана боковая сторона длиной $b$ и угол при вершине $\alpha$.

1. Построим угол, равный данному углу $\alpha$. Обозначим его вершину как $A$.
2. На сторонах этого угла отложим от вершины $A$ отрезки $AB$ и $AC$, равные данной длине боковой стороны $b$.
3. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком.
4. Треугольник $ABC$ — искомый, так как по построению $AB = AC = b$ и угол между ними $\angle BAC = \alpha$.

Ответ: Треугольник построен.

4) по основанию и боковой стороне;

Пусть дано основание длиной $a$ и боковая сторона длиной $b$. Для того чтобы треугольник существовал, должно выполняться неравенство треугольника: $a < b + b$, то есть $a < 2b$.

1. Построим отрезок $BC$ длиной, равной данному основанию $a$.
2. Из центра в точке $B$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине боковой стороны $b$.
3. Из центра в точке $C$ проведем дугу окружности тем же радиусом $b$.
4. Точку пересечения этих дуг (можно выбрать любую из двух) обозначим как $A$.
5. Соединим точку $A$ с точками $B$ и $C$ отрезками.
6. Треугольник $ABC$ является искомым равнобедренным треугольником, так как его основание $BC$ равно $a$, а боковые стороны $AB$ и $AC$ по построению равны $b$.

Ответ: Треугольник построен.

5) по основанию и медиане, проведенной к основанию.

Пусть дано основание длиной $a$ и медиана, проведенная к нему, длиной $m$. Ключевое свойство: в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также его высотой.

1. Построим отрезок $BC$ длиной, равной данному основанию $a$.
2. Найдем середину отрезка $BC$. Для этого построим его серединный перпендикуляр. Обозначим точку середины как $M$.
3. Прямая, построенная на предыдущем шаге, перпендикулярна $BC$ и проходит через его середину $M$.
4. На этой прямой отложим от точки $M$ отрезок $MA$ длиной, равной данной медиане $m$.
5. Соединим точку $A$ с точками $B$ и $C$ отрезками.
6. Треугольник $ABC$ является искомым. Его основание $BC=a$. $AM$ — медиана ($BM=MC$) и ее длина равна $m$. Так как медиана $AM$ одновременно является высотой ($AM \perp BC$), то прямоугольные треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по двум катетам. Следовательно, их гипотенузы равны: $AB = AC$. Значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Ответ: Треугольник построен.