Номер 4.44, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.44. Даны отрезки длиной $a$, $b$ и $c$. Постройте треугольник ABC так, чтобы $AB = 2a$, $BC = b$, $AC = c$. Всегда ли задача имеет решение?

Задача состоит из двух частей: описание алгоритма построения треугольника и анализ условий, при которых это построение возможно.

Построение треугольника ABC

Для построения треугольника ABC со сторонами $AB = 2a$, $BC = b$ и $AC = c$ с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить произвольную прямую и выбрать на ней точку A.
2. С помощью циркуля измерить длину данного отрезка a. Отложить на прямой от точки A два раза подряд эту длину в одном направлении и отметить конец второго отрезка как точку B. Таким образом, будет построен отрезок AB длиной $2a$.
3. С помощью циркуля измерить длину отрезка c. Поместить острие циркуля в точку A и провести дугу окружности радиусом c.
4. С помощью циркуля измерить длину отрезка b. Поместить острие циркуля в точку B и провести дугу окружности радиусом b.
5. Точка пересечения этих двух дуг будет являться третьей вершиной треугольника — точкой C. Если дуги пересекаются в двух точках, можно выбрать любую из них.
6. Соединить точки A, B и C отрезками. Полученный треугольник ABC является искомым.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному алгоритму с использованием циркуля и линейки.

Всегда ли задача имеет решение?

Нет, задача имеет решение не всегда. Для того чтобы треугольник с заданными длинами сторон можно было построить, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника. Это правило гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны.

Для нашего случая, стороны треугольника ABC имеют длины $2a$, $b$ и $c$. Следовательно, для существования такого треугольника должны одновременно выполняться три неравенства:

• $AB + AC > BC \implies 2a + c > b$
• $AB + BC > AC \implies 2a + b > c$
• $AC + BC > AB \implies c + b > 2a$

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то построение невозможно. Геометрически это означает, что дуги, построенные в шагах 3 и 4, не пересекутся (или коснутся в одной точке, если одно из неравенств обращается в равенство, что приведет к вырожденному треугольнику, у которого все вершины лежат на одной прямой).

Ответ: Задача имеет решение только тогда, когда для длин отрезков a, b и c одновременно выполняются три неравенства: $2a + c > b$, $2a + b > c$ и $b + c > 2a$.