Номер 4.51, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.51. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть нам даны длины двух его сторон, $AC = b$ и $BC = a$, и длина высоты $CD = h_c$, опущенной на третью сторону $AB$.

Вершина $C$ искомого треугольника удалена от прямой, содержащей сторону $AB$, на расстояние, равное высоте $h_c$. Вершины $A$ и $B$ лежат на этой прямой. При этом точка $A$ находится на расстоянии $b$ от точки $C$, а точка $B$ — на расстоянии $a$ от точки $C$. Это означает, что точка $A$ является точкой пересечения прямой $AB$ и окружности с центром в точке $C$ и радиусом $b$, а точка $B$ — точкой пересечения той же прямой $AB$ и окружности с центром в $C$ и радиусом $a$. Это наблюдение лежит в основе построения.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $l$. На этой прямой будет располагаться третья сторона искомого треугольника.
2. Выберем на прямой $l$ любую точку $D$ и построим через нее прямую $k$, перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $k$ отложим от точки $D$ отрезок $DC$ длиной, равной данной высоте $h_c$. Точка $C$ будет одной из вершин искомого треугольника.
4. С центром в точке $C$ построим окружность радиусом, равным длине стороны $b$. Точка (или точки) пересечения этой окружности с прямой $l$ будет являться вершиной $A$. Обозначим одну из них как $A$.
5. С центром в точке $C$ построим окружность радиусом, равным длине стороны $a$. Точка (или точки) пересечения этой окружности с прямой $l$ будет являться вершиной $B$. Обозначим одну из них как $B$.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$. По построению, сторона $AC$ равна $b$, так как точка $A$ лежит на окружности с центром в $C$ и радиусом $b$. Аналогично, сторона $BC$ равна $a$, так как точка $B$ лежит на окружности с центром в $C$ и радиусом $a$. Отрезок $CD$ по построению перпендикулярен прямой $l$, на которой лежит сторона $AB$, и его длина равна $h_c$. Следовательно, $CD$ является высотой треугольника $ABC$, опущенной на сторону $AB$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Для того чтобы задача имела решение, необходимо, чтобы окружности, построенные на шагах 4 и 5, пересекали прямую $l$.

Окружность пересекает прямую, если ее радиус не меньше расстояния от ее центра до этой прямой. Расстояние от центра $C$ до прямой $l$ равно $h_c$. Следовательно, для существования решения должны выполняться неравенства $a \ge h_c$ и $b \ge h_c$.

Проанализируем количество возможных решений в зависимости от соотношения между $a$, $b$ и $h_c$:

• Если $a < h_c$ или $b < h_c$, то хотя бы одна из окружностей не пересечет прямую $l$, и построить треугольник невозможно. В этом случае задача не имеет решений.
• Если $a = h_c$ и $b = h_c$, то обе вершины $A$ и $B$ совпадут с точкой $D$. Треугольник вырождается в отрезок, поэтому невырожденного треугольника не существует.
• Если одна из сторон равна высоте (например, $b = h_c$), а другая строго больше ($a > h_c$), то вершина $A$ совпадает с точкой $D$. Окружность радиуса $a$ пересечет прямую $l$ в двух точках, симметричных относительно $D$. Полученные два треугольника будут равны (как прямоугольные треугольники по катету и гипотенузе). Таким образом, задача имеет одно уникальное решение (с точностью до конгруэнтности).
• Если $a = b > h_c$, то мы получаем равнобедренный треугольник. Точки пересечения обеих окружностей с прямой $l$ совпадают. Чтобы получить невырожденный треугольник, его вершины $A$ и $B$ должны быть разными, то есть быть двумя точками пересечения окружности с прямой $l$. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если $a > h_c$, $b > h_c$ и $a \ne b$, то каждая из окружностей пересекает прямую $l$ в двух различных точках. Пусть $A_1, A_2$ — точки пересечения для стороны $b$, а $B_1, B_2$ — для стороны $a$. Зафиксировав вершину $A$ (например, $A_1$), мы можем выбрать в качестве вершины $B$ либо $B_1$, либо $B_2$.
  1. Если $A$ и $B$ лежат по разные стороны от точки $D$, то длина третьей стороны равна $AB = \sqrt{b^2 - h_c^2} + \sqrt{a^2 - h_c^2}$.
  2. Если $A$ и $B$ лежат по одну сторону от точки $D$, то длина третьей стороны равна $AB = |\sqrt{b^2 - h_c^2} - \sqrt{a^2 - h_c^2}|$.
  Поскольку $a \ne b$, эти две длины различны, и мы получаем два неконгруэнтных треугольника. Таким образом, в этом случае задача имеет два решения.

Ответ: Построение описано выше. Задача имеет решение, если каждая из данных сторон не меньше данной высоты ($a \ge h_c$ и $b \ge h_c$), за исключением случая, когда обе стороны равны высоте ($a=b=h_c$). Если $a > h_c$, $b > h_c$ и $a \ne b$, задача имеет два неконгруэнтных решения. В остальных случаях, когда решение существует, оно единственно (с точностью до конгруэнтности).