Номер 4.55, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.55. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.

Пусть даны радиус $R$ (в виде отрезка), точка $A$ и прямая $l$. Необходимо построить окружность, которая имеет радиус $R$, проходит через точку $A$, а ее центр $O$ лежит на прямой $l$.

Проанализируем условия задачи. Центр искомой окружности $O$ должен удовлетворять двум геометрическим условиям:

1. Он должен принадлежать прямой $l$.

2. Он должен находиться на расстоянии $R$ от точки $A$, так как окружность радиуса $R$ проходит через точку $A$. Таким образом, $OA = R$.

Геометрическое место точек (ГМТ), находящихся на расстоянии $R$ от точки $A$, — это окружность с центром в $A$ и радиусом $R$. Назовем эту вспомогательную окружность $\omega_A$. Следовательно, искомый центр $O$ должен быть общей точкой для прямой $l$ и окружности $\omega_A$, то есть их точкой пересечения.

Отсюда следует алгоритм построения:

1. Построить вспомогательную окружность $\omega_A$ с центром в данной точке $A$ и радиусом, равным данному отрезку $R$.

2. Найти точки пересечения этой окружности $\omega_A$ с данной прямой $l$. Эти точки и будут центрами искомых окружностей.

Исследуем количество возможных решений. Оно зависит от числа точек пересечения прямой $l$ и окружности $\omega_A$. Пусть $d$ — расстояние от точки $A$ до прямой $l$.

- Если расстояние $d$ меньше радиуса $R$ ($d < R$), то прямая пересекает окружность в двух точках ($O_1$ и $O_2$). В этом случае задача имеет два решения. Построив окружности с центрами в $O_1$ и $O_2$ и радиусом $R$, мы получим две искомые окружности.

- Если расстояние $d$ равно радиусу $R$ ($d = R$), то прямая касается окружности в одной точке ($O$). В этом случае задача имеет одно решение: окружность с центром в $O$ и радиусом $R$.

- Если расстояние $d$ больше радиуса $R$ ($d > R$), то прямая и окружность не имеют общих точек. В этом случае задача решений не имеет.

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо найти точки пересечения данной прямой $l$ и вспомогательной окружности с центром в данной точке $A$ и радиусом, равным данному радиусу $R$. Найденные точки пересечения (если они существуют) являются центрами искомых окружностей. В зависимости от расстояния от данной точки до данной прямой по сравнению с данным радиусом, задача может иметь два, одно или ни одного решения.