Номер 4.62, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.62. Даны четыре точки: $A, B, C, D$. Найдите точку $X$, которая одинаково удалена от точек $A$ и $B$ и одинаково удалена от точек $C$ и $D$.

Решение задачи основано на понятии геометрического места точек (ГМТ). Искомая точка X должна одновременно удовлетворять двум условиям.

1. Условие равноудаленности от точек A и B

Точка X должна быть одинаково удалена от точек A и B. Это значит, что расстояние от X до A равно расстоянию от X до B, то есть $XA = XB$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (в данном случае A и B), — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезок AB). Обозначим этот серединный перпендикуляр как прямую $m_1$.

2. Условие равноудаленности от точек C и D

Аналогично, точка X должна быть одинаково удалена от точек C и D, то есть $XC = XD$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от C и D, — это серединный перпендикуляр к отрезку CD. Обозначим этот серединный перпендикуляр как прямую $m_2$.

3. Нахождение точки X

Так как точка X должна удовлетворять обоим условиям, она должна принадлежать обеим прямым, $m_1$ и $m_2$. Следовательно, искомая точка X является точкой пересечения серединных перпендикуляров $m_1$ и $m_2$.

В зависимости от взаимного расположения точек A, B, C и D, а следовательно, и прямых $m_1$ и $m_2$, задача может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.

Случай 1: Единственное решение (общий случай)

Если прямые $m_1$ и $m_2$ не параллельны, они пересекаются в одной-единственной точке. Эта точка и будет искомой точкой X. Прямые $m_1$ и $m_2$ не параллельны, если прямые, содержащие отрезки AB и CD, не параллельны. Это наиболее общий случай расположения четырех точек.

Для нахождения точки X нужно:

1. Построить серединный перпендикуляр $m_1$ к отрезку AB.
2. Построить серединный перпендикуляр $m_2$ к отрезку CD.
3. Найти точку пересечения $X = m_1 \cap m_2$.

Ответ: В общем случае, когда прямые AB и CD не параллельны, искомая точка X — это точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB и CD.

Случай 2: Решений нет

Если прямые AB и CD параллельны, то их серединные перпендикуляры $m_1$ и $m_2$ также будут параллельны. Если при этом $m_1$ и $m_2$ не совпадают, то они не имеют общих точек, и, следовательно, не существует точки X, удовлетворяющей условиям задачи.

Ответ: Если серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD являются различными параллельными прямыми, то решений не существует.

Случай 3: Бесконечно много решений

Если прямые AB и CD расположены так, что их серединные перпендикуляры $m_1$ и $m_2$ совпадают, то любая точка этой общей прямой будет равноудалена как от A и B, так и от C и D. В этом случае задача имеет бесконечное множество решений. Такое возможно, например, если отрезки AB и CD параллельны и расположены симметрично относительно общей оси (как основания в равнобокой трапеции), или если точки A, B, C, D лежат на одной прямой и середина отрезка AB совпадает с серединой отрезка CD.

Ответ: Если серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD совпадают, то решением является любая точка на этом общем перпендикуляре.