Номер 4.68, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.68. Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?

Через три данные точки проведите окружность.

Пусть даны три точки A, B и C. Центр искомой окружности, точка O, должен быть равноудален от всех трех точек, то есть расстояние от O до A, B и C должно быть одинаковым и равным радиусу $R$: $OA = OB = OC = R$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (например, A и B), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, центр окружности O должен лежать на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам, образованным данными точками.

Алгоритм построения:

1. Соединить точки, чтобы получить два отрезка, например, AB и BC.

2. Построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку AB.

3. Построить серединный перпендикуляр $n$ к отрезку BC.

4. Точка пересечения O прямых $m$ и $n$ будет являться центром искомой окружности.

5. Отрезок, соединяющий точку O с любой из данных точек (OA, OB или OC), будет радиусом $R$ окружности.

6. Построить окружность с центром O и радиусом $R$.

Ответ: Чтобы провести окружность через три точки, необходимо найти точку пересечения серединных перпендикуляров к двум отрезкам, соединяющим эти точки. Эта точка будет центром окружности, а расстояние от нее до любой из данных точек — радиусом.

Всегда ли задача имеет решение?

Решение задачи, описанное выше, зависит от существования точки пересечения серединных перпендикуляров $m$ и $n$. Рассмотрим два возможных случая расположения точек A, B и C.

Случай 1: Точки не лежат на одной прямой.

Если точки A, B и C не коллинеарны, они образуют вершины треугольника ABC. Отрезки AB и BC не лежат на одной прямой. Их серединные перпендикуляры $m$ и $n$ не будут параллельны, а значит, они пересекутся в единственной точке O. Эта точка и будет центром единственной окружности, проходящей через точки A, B и C (описанной окружности треугольника ABC). В этом случае задача имеет единственное решение.

Случай 2: Точки лежат на одной прямой.

Если точки A, B и C лежат на одной прямой (коллинеарны), то отрезки AB и BC также лежат на этой прямой. Серединные перпендикуляры $m$ и $n$ к этим отрезкам будут оба перпендикулярны одной и той же прямой, а следовательно, будут параллельны друг другу. Если точки A, B, C различны, то перпендикуляры $m$ и $n$ не совпадают и не имеют точек пересечения. Это означает, что не существует точки, равноудаленной от всех трех точек A, B и C. Таким образом, в этом случае провести окружность невозможно.

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда три данные точки не лежат на одной прямой.