Номер 4.73, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.73*:

Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $A$ — вершина, из которой проведены высота $AH$ и биссектриса $AD$. По условию, нам даны угол $\angle A = \alpha$, длина высоты $AH = h_a$ и длина биссектрисы $AD = l_a$. Точки $H$ (основание высоты) и $D$ (основание биссектрисы) лежат на прямой, содержащей сторону $BC$.

Рассмотрим треугольник $AHD$. Он является прямоугольным, так как $AH$ — высота, т.е. $AH \perp HD$. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AD = l_a$ и катет $AH = h_a$. Таким образом, мы можем построить треугольник $AHD$. Построив его, мы определим положение вершины $A$, прямой $BC$ (как прямой $HD$) и прямой, содержащей биссектрису $AD$.

Поскольку $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC = \alpha$, то углы $\angle BAD$ и $\angle CAD$ равны $\alpha/2$. Зная положение луча $AD$, мы можем построить лучи $AB$ и $AC$, отложив от луча $AD$ в разные стороны углы, равные $\alpha/2$. Точки $B$ и $C$ будут лежать на пересечении этих лучей с прямой $HD$.

Построение

1. Построить прямоугольный треугольник $AHD$ по катету $AH = h_a$ и гипотенузе $AD = l_a$. Для этого:

а) Провести произвольную прямую $m$.

б) Выбрать на ней произвольную точку $H$.

в) Через точку $H$ провести прямую, перпендикулярную прямой $m$.

г) На этом перпендикуляре отложить отрезок $HA$ длиной, равной данной высоте $h_a$.

д) Из точки $A$ как из центра провести дугу окружности радиусом, равным данной биссектрисе $l_a$.

е) Точка пересечения этой дуги с прямой $m$ будет точкой $D$.

2. Построить стороны $AB$ и $AC$ треугольника. Для этого:

а) Построить угол, равный $\alpha/2$ (путём построения угла $\alpha$ и его биссектрисы).

б) От луча $AD$ по одну сторону отложить угол, равный $\alpha/2$. Полученный луч обозначим $r_1$.

в) От луча $AD$ по другую сторону отложить угол, равный $\alpha/2$. Полученный луч обозначим $r_2$.

3. Найти вершины $B$ и $C$.

а) Точка $B$ является точкой пересечения луча $r_1$ и прямой $m$.

б) Точка $C$ является точкой пересечения луча $r_2$ и прямой $m$.

4. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ отрезок $AH$ является высотой, проведённой к стороне $BC$ (так как $AH \perp m$ по построению), и его длина равна $h_a$ (по построению). Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, так как по построению $\angle BAD = \angle CAD = \alpha/2$, а его длина равна $l_a$ (по построению). Величина угла $\angle BAC$ равна $\angle BAD + \angle CAD = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение не при любых значениях $\alpha$, $h_a$ и $l_a$.

1. Построение точки $D$ возможно, если $l_a \ge h_a$. В противном случае (гипотенуза меньше катета в $\triangle AHD$) решений нет.

2. Построение точек $B$ и $C$ возможно, если лучи $AB$ и $AC$ пересекают прямую $m$. Это произойдёт, если они не параллельны ей, то есть не перпендикулярны высоте $AH$. Угол между лучом $AC$ (или $AB$) и высотой $AH$ должен быть по абсолютной величине меньше $90^\circ$. Наибольший из этих углов — это $\angle HAC = \angle HAD + \alpha/2$. Условие существования: $\angle HAD + \alpha/2 < 90^\circ$. Из прямоугольного $\triangle AHD$ имеем $\cos(\angle HAD) = h_a/l_a$. Условие принимает вид $\arccos(h_a/l_a) + \alpha/2 < 90^\circ$, что равносильно $\frac{h_a}{l_a} > \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Таким образом, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение при одновременном выполнении двух условий: $l_a \ge h_a$ и $h_a > l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$. Если хотя бы одно из условий не выполняется, построение треугольника невозможно.

Ответ: Алгоритм построения описан выше. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются условия $l_a \ge h_a$ и $h_a > l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$.