Номер 5.5, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.5. 1) На одной стороне угла с вершиной A отмечены точки D и B, на другой стороне - C и E так, что $AD = AC = 3$ см, $AB = AE = 4$ см. Докажите, что: а) $BC = DE$; б) $KB = KE$, где $K$ - точка пересечения отрезков $BC$ и $ED$.

Рис. 5.1

2) $\Delta ABC$ и $\Delta A_1B_1C_1$ - равнобедренные треугольники с основаниями $AC$ и $A_1C_1$, точки $K$ и $K_1$ - середины сторон $BC$ и $B_1C_1$ соответственно. $AB = A_1B_1$, $AK = A_1K_1$. Докажите, что $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$.

а) Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADE $. По условию задачи нам даны следующие равенства сторон: $ AD = AC = 3 $ см и $ AB = AE = 4 $ см. Угол $ \angle A $ (или $ \angle BAC $, он же $ \angle EAD $) является общим для этих двух треугольников.

Сравним треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADE $. У них:

1. $ AB = AE = 4 $ см (по условию).

2. $ AC = AD = 3 $ см (по условию).

3. $ \angle BAC = \angle EAD $ (как общий угол).

Следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADE $ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $ BC $ лежит напротив угла $ \angle BAC $, а сторона $ DE $ лежит напротив угла $ \angle EAD $. Так как треугольники равны, то и эти стороны равны: $ BC = DE $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ BC = DE $ доказано.

б) Из доказанного в пункте а) равенства треугольников $ \triangle ABC = \triangle ADE $ следует также равенство их соответствующих углов: $ \angle ABC = \angle AED $ и $ \angle ACB = \angle ADE $.

Рассмотрим отрезки $ BD $ и $ CE $. Так как точки $ D $ и $ B $ лежат на одной стороне угла с вершиной $ A $, а $ AB > AD $, то точка $ D $ находится между $ A $ и $ B $. Аналогично, точка $ C $ находится между $ A $ и $ E $. Длины этих отрезков равны:

$ BD = AB - AD = 4 - 3 = 1 $ см.

$ CE = AE - AC = 4 - 3 = 1 $ см.

Таким образом, $ BD = CE $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle KBD $ и $ \triangle KCE $, где $ K $ — точка пересечения $ BC $ и $ ED $.

1. $ BD = CE $ (как мы только что показали).

2. $ \angle KBD $ (это тот же угол, что и $ \angle ABC $) равен $ \angle KEC $ (это тот же угол, что и $ \angle AED $), поскольку $ \angle ABC = \angle AED $.

3. $ \angle KDB $ (это тот же угол, что и $ \angle ADE $) равен $ \angle KCE $ (это тот же угол, что и $ \angle ACB $), поскольку $ \angle ADE = \angle ACB $.

Таким образом, треугольники $ \triangle KBD $ и $ \triangle KCE $ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников $ \triangle KBD = \triangle KCE $ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $ KB $ лежит напротив угла $ \angle KDB $, а сторона $ KE $ — напротив угла $ \angle KCE $. Поскольку $ \angle KDB = \angle KCE $, то и противолежащие им стороны равны: $ KB = KE $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ KB = KE $ доказано.