Номер 5.6, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.6. $AC$ и $A_1C_1$ – основания равнобедренных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, точки $K$ и $K_1$ – середины сторон $BC$ и $B_1C_1$ соответственно, $AC = A_1C_1$, $AB = A_1B_1$. Докажите, что $\Delta ABK = \Delta A_1B_1K_1$.

Доказательство:

Рассмотрим два равнобедренных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

1. По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Из определения равнобедренного треугольника следует, что его боковые стороны равны: $AB = BC$.

2. Аналогично, треугольник $A_1B_1C_1$ является равнобедренным с основанием $A_1C_1$, следовательно, его боковые стороны также равны: $A_1B_1 = B_1C_1$.

3. В условии задачи дано равенство $AB = A_1B_1$. Сопоставив это с равенствами из пунктов 1 и 2, получаем цепочку равенств: $BC = AB = A_1B_1 = B_1C_1$. Из этого следует, что $BC = B_1C_1$.

4. Теперь сравним треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. У них равны три соответствующие стороны:

- $AB = A_1B_1$ (по условию),

- $AC = A_1C_1$ (по условию),

- $BC = B_1C_1$ (доказано в п. 3).

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

5. Из равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, нас интересует равенство углов при вершинах $B$ и $B_1$: $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.

6. По условию, точка $K$ является серединой стороны $BC$, а точка $K_1$ — серединой стороны $B_1C_1$. Это означает, что $BK = \frac{1}{2}BC$ и $B_1K_1 = \frac{1}{2}B_1C_1$. Так как мы уже доказали, что $BC = B_1C_1$, то равны и их половины: $BK = B_1K_1$.

7. Наконец, рассмотрим треугольники $ABK$ и $A_1B_1K_1$, равенство которых требуется доказать. Сравним их элементы:

- $AB = A_1B_1$ (по условию).

- $\angle ABK = \angle A_1B_1K_1$ (так как это те же углы, что и $\angle ABC$ и $\angle A_1B_1C_1$, равенство которых доказано в п. 5).

- $BK = B_1K_1$ (доказано в п. 6).

Таким образом, треугольники $ABK$ и $A_1B_1K_1$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABK$ и $\triangle A_1B_1K_1$ доказано.