Номер 5.3, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.3. На рисунке 5.1 $BE$ и $CF$ – высоты треугольника $ABC$. При помощи только линейки постройте высоту $AX$ этого треугольника. Найдите длину отрезка $BC$, если $AX = BE$, $CX = CF$ и $AC = 17$ дм.

Рис. 5.1

При помощи только линейки постройте высоту AX этого треугольника.

Согласно теореме о высотах треугольника, три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. В задаче даны две высоты $BE$ и $CF$. Точка их пересечения является ортоцентром треугольника $ABC$. Третья высота $AX$ также должна проходить через эту точку.

Алгоритм построения:

1. При помощи линейки продлим отрезки $BE$ и $CF$ до их пересечения. Обозначим точку пересечения буквой $H$. Эта точка — ортоцентр треугольника.

2. При помощи линейки проводим прямую через две известные точки: вершину $A$ и ортоцентр $H$.

3. Эта прямая пересечет сторону $BC$ (или ее продолжение) в точке $X$. Отрезок $AX$ и является искомой высотой.

Ответ: Необходимо найти точку пересечения $H$ высот $BE$ и $CF$, а затем провести прямую через вершину $A$ и точку $H$. Отрезок $AX$, где $X$ — точка пересечения этой прямой со стороной $BC$, является искомой высотой.

Найдите длину отрезка BC, если AX = BE, CX = CF и AC = 17 дм.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — сторона треугольника, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

Запишем площадь треугольника $ABC$, используя две разные пары оснований и высот:

1. Для основания $AC$ и высоты $BE$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BE$.

2. Для основания $BC$ и высоты $AX$: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AX$.

Поскольку площадь треугольника одна и та же, мы можем приравнять эти два выражения:

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AX$

Умножив обе части на 2, получим:

$AC \cdot BE = BC \cdot AX$

По условию задачи дано, что $AX = BE$. Так как длины высот в невырожденном треугольнике не равны нулю, мы можем сократить уравнение на эту общую величину:

$AC = BC$

Известно, что $AC = 17$ дм. Следовательно, $BC$ также равно 17 дм.

Условие $CX = CF$ является дополнительным. Оно, в совокупности с первым условием, позволяет однозначно определить углы треугольника ($30^\circ, 30^\circ, 120^\circ$), что подтверждает непротиворечивость данных, но не требуется для нахождения длины стороны $BC$.

Ответ: $17$ дм.