Номер 4.71, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.71. Дан равносторонний треугольник $\triangle ABC$ и точка $B_1$ на стороне $AC$. На сторонах $BC$ и $AB$ постройте точки $A_1$ и $C_1$ так, чтобы треугольник $\triangle A_1 B_1 C_1$ был равносторонним.

Для решения этой задачи воспользуемся методом анализа, то есть предположим, что искомый равносторонний треугольник $A_1B_1C_1$ уже построен. Наша цель — найти свойства, которые позволят однозначно определить положение точек $A_1$ и $C_1$.

Анализ

Пусть $\triangle ABC$ — данный равносторонний треугольник, и точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ лежат на сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, причем $\triangle A_1B_1C_1$ также является равносторонним.

Рассмотрим три треугольника по углам $\triangle ABC$: $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$. Поскольку $\triangle ABC$ равносторонний, то $∠A = ∠B = ∠C = 60°$. Поскольку $\triangle A_1B_1C_1$ равносторонний, то $∠A_1B_1C_1 = ∠B_1C_1A_1 = ∠C_1A_1B_1 = 60°$.

Рассмотрим углы вокруг точки $B_1$ на прямой $AC$. Сумма углов $∠AB_1C_1$, $∠C_1B_1A_1$ и $∠A_1B_1C$ равна $180°$. $∠AB_1C_1 + 60° + ∠A_1B_1C = 180°$, откуда $∠AB_1C_1 + ∠A_1B_1C = 120°$.

Пусть $∠AC_1B_1 = \alpha$. Тогда в $\triangle AC_1B_1$ угол $∠AB_1C_1 = 180° - ∠A - ∠AC_1B_1 = 180° - 60° - \alpha = 120° - \alpha$. Тогда $∠A_1B_1C = 120° - ∠AB_1C_1 = 120° - (120° - \alpha) = \alpha$. Теперь рассмотрим $\triangle CB_1A_1$. В нем $∠C = 60°$ и $∠CB_1A_1 = \alpha$. Следовательно, третий угол $∠CA_1B_1 = 180° - 60° - \alpha = 120° - \alpha$.

Проведя аналогичные рассуждения для вершин $A_1$ и $C_1$, мы можем показать, что все три "угловых" треугольника ($\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$, $\triangle CB_1A_1$) имеют одинаковый набор углов: $60°$, $\alpha$ и $120°-\alpha$.

Теперь применим теорему синусов. В $\triangle AC_1B_1$: сторона $B_1C_1$ лежит напротив угла $∠A=60°$. В $\triangle BA_1C_1$: сторона $A_1C_1$ лежит напротив угла $∠B=60°$. В $\triangle CB_1A_1$: сторона $A_1B_1$ лежит напротив угла $∠C=60°$.

Так как $\triangle A_1B_1C_1$ равносторонний, то $A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1$. Поскольку у треугольников $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$ равны стороны, лежащие против равных углов ($60°$), и все углы соответственно равны, то эти три треугольника конгруэнтны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). $\triangle AC_1B_1 \cong \triangle BA_1C_1 \cong \triangle CB_1A_1$.

Из конгруэнтности треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AC_1 = BA_1 = CB_1$ $AB_1 = BC_1 = CA_1$

Эти равенства дают нам ключ к построению. Нам дана точка $B_1$, а значит, известны длины отрезков $AB_1$ и $CB_1$. Используя эти длины, мы можем построить точки $A_1$ и $C_1$.

Построение

1. На стороне $BC$ откладываем от вершины $C$ отрезок $CA_1$, равный по длине отрезку $AB_1$. Для этого можно использовать циркуль: измеряем расстояние $AB_1$ и проводим дугу с центром в точке $C$ до пересечения со стороной $BC$. Точка пересечения и будет искомой точкой $A_1$.

2. На стороне $AB$ откладываем от вершины $A$ отрезок $AC_1$, равный по длине отрезку $CB_1$. Аналогично, измеряем циркулем $CB_1$ и проводим дугу с центром в точке $A$ до пересечения со стороной $AB$. Точка пересечения и будет искомой точкой $C_1$.

Доказательство

Докажем, что построенный по этому алгоритму треугольник $A_1B_1C_1$ действительно является равносторонним. По построению мы имеем: $CA_1 = AB_1$ $AC_1 = CB_1$

Пусть сторона исходного треугольника $ABC$ равна $a$. Тогда $AB = BC = CA = a$. $CB_1 = CA - AB_1 = a - AB_1$. $BA_1 = BC - CA_1 = a - CA_1 = a - AB_1$. Следовательно, $AC_1 = CB_1 = BA_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AC_1B_1$ и $\triangle CB_1A_1$. В них: - $AC_1 = CB_1$ (по построению)

- $AB_1 = CA_1$ (по построению)

- $∠A = ∠C = 60°$ (как углы равностороннего треугольника)

Следовательно, $\triangle AC_1B_1 \cong \triangle CB_1A_1$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из этого следует, что их третьи стороны равны: $C_1B_1 = B_1A_1$.

Теперь сравним $\triangle CB_1A_1$ и $\triangle BA_1C_1$. Мы знаем, что $BC_1 = AB - AC_1 = a - AC_1$. Так как $AC_1 = CB_1$, то $BC_1 = a - CB_1$. Но $AB_1 = a - CB_1$. Значит, $BC_1 = AB_1$. А по построению $AB_1 = CA_1$. Таким образом, $BC_1 = CA_1$. В треугольниках $\triangle CB_1A_1$ и $\triangle BA_1C_1$: - $CB_1 = BA_1$ (как было показано выше, оба равны $a-AB_1$)

- $CA_1 = BC_1$ (как было показано выше, оба равны $AB_1$)

- $∠C = ∠B = 60°$

Следовательно, $\triangle CB_1A_1 \cong \triangle BA_1C_1$ по первому признаку. Из этого следует, что $B_1A_1 = A_1C_1$.

Таким образом, мы получили, что $C_1B_1 = B_1A_1$ и $B_1A_1 = A_1C_1$, а значит, все три стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны. Следовательно, $\triangle A_1B_1C_1$ является равносторонним. Построение верно.

Ответ: Чтобы построить точки $A_1$ и $C_1$, необходимо на стороне $BC$ отложить отрезок $CA_1$, равный отрезку $AB_1$, и на стороне $AB$ отложить отрезок $AC_1$, равный отрезку $CB_1$.