Номер 4.70, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.70. Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

Задача имеет два решения. Рассмотрим каждое из них.

Решение 1: Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла

Анализ

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и стороны $l_1$ и $l_2$. Искомая прямая $m$ проходит через точку $A$ и пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$ так, что отрезки, отсекаемые от вершины, равны: $OB = OC$.

Треугольник $OBC$, образованный сторонами угла и искомой прямой, является равнобедренным, так как $OB = OC$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине ($∠BOC$) является также высотой и медианой, проведенной к основанию ($BC$). Следовательно, биссектриса угла $O$ должна быть перпендикулярна искомой прямой $BC$.

Таким образом, задача сводится к построению прямой, проходящей через данную точку $A$ и перпендикулярной биссектрисе данного угла.

Построение

1. Обозначим вершину угла как $O$. Построим биссектрису $k$ угла $∠BOC$.
2. Из точки $A$ опустим перпендикуляр на биссектрису $k$. Для этого можно, например, построить окружность с центром в точке $A$, пересекающую биссектрису $k$ в двух точках, а затем построить серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки.
3. Построенная прямая, проходящая через $A$ и перпендикулярная $k$, и есть искомая прямая $m$.

Доказательство

Пусть построенная прямая $m$ пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$, а биссектрису $k$ в точке $H$. По построению $m \perp k$, значит $∠OHB = ∠OHC = 90°$.

Рассмотрим треугольники $ΔOHB$ и $ΔOHC$:

• $OH$ — общая сторона.
• $∠BOH = ∠COH$ (так как $OH$ — биссектриса угла $∠BOC$).
• $∠OHB = ∠OHC = 90°$ (по построению).

Следовательно, $ΔOHB = ΔOHC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $OB = OC$. Прямая $m$ проходит через точку $A$ и отсекает на сторонах угла равные отрезки.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная биссектрисе данного угла.

Решение 2: Прямая, параллельная биссектрисе угла

Анализ

Рассмотрим второй случай. Пусть искомая прямая $m$, проходящая через точку $A$, параллельна биссектрисе $k$ данного угла $∠BOC$. Пусть эта прямая пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$.

Докажем, что в этом случае треугольник $OBC$ также будет равнобедренным.

Пусть $k$ — биссектриса угла $∠BOC$. Тогда $∠BOK = ∠COK$.

Поскольку прямая $BC$ параллельна биссектрисе $k$ ($BC \parallel k$):

• Углы $∠OBC$ и $∠BOK$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $k$ и секущей $OB$. Следовательно, $∠OBC = ∠BOK$.
• Углы $∠OCB$ и $∠COK$ являются соответственными при параллельных прямых $BC$ и $k$ и секущей $OC$. Следовательно, $∠OCB = ∠COK$.

Так как $∠BOK = ∠COK$, то и $∠OBC = ∠OCB$. Это означает, что треугольник $OBC$ является равнобедренным с основанием $BC$, и, следовательно, $OB = OC$.

Таким образом, вторая искомая прямая проходит через точку $A$ и параллельна биссектрисе данного угла.

Построение

1. Обозначим вершину угла как $O$. Построим биссектрису $k$ угла $∠BOC$.
2. Через точку $A$ проведем прямую $m$, параллельную биссектрисе $k$.
3. Построенная прямая $m$ и есть вторая искомая прямая.

Доказательство

Пусть построенная прямая $m$ проходит через точку $A$ и параллельна биссектрисе $k$. Пусть $m$ пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Как показано в анализе, из условия $BC \parallel k$ следует, что $∠OBC = ∠OCB$. Следовательно, треугольник $OBC$ — равнобедренный, и $OB = OC$. Прямая $m$ проходит через точку $A$ и отсекает на сторонах угла равные отрезки.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через точку А и параллельная биссектрисе данного угла.

Таким образом, задача в общем случае имеет два решения. Исключением является случай, когда точка $A$ лежит на биссектрисе угла. В этом случае прямая, проходящая через $A$ и параллельная биссектрисе, совпадает с самой биссектрисой и не отсекает конечных отрезков на обеих сторонах угла (если угол не развернутый), поэтому решение остается одно — прямая, перпендикулярная биссектрисе.