Номер 4.69, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.69. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный:

1) $30^\circ$;

2) $60^\circ$;

3) $15^\circ$;

4) $135^\circ$;

5) $75^\circ$.

1) 30°

Угол в $30^\circ$ можно получить, разделив пополам угол в $60^\circ$. Для этого сначала строится угол в $60^\circ$, а затем его биссектриса.

1. Сначала построим угол в $60^\circ$. Для этого начертим луч с началом в точке O. Из точки O проведем дугу произвольного радиуса $r$, пересекающую луч в точке A. Затем, не меняя радиуса, из точки A проведем вторую дугу, пересекающую первую в точке B. Угол $\angle AOB$ равен $60^\circ$.
2. Для построения биссектрисы угла $\angle AOB$ проведем из точек A и B две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния AB) так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке C.
3. Проведем луч OC с помощью линейки.
4. Луч OC является биссектрисой угла $\angle AOB$, поэтому он делит его на два равных угла. Угол $\angle AOC$ и угол $\angle COB$ равны $60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle AOC$ (или $\angle COB$) равен $30^\circ$.

2) 60°

Угол в $60^\circ$ является внутренним углом равностороннего треугольника. Построение основано на создании такого треугольника.

1. Проведем произвольный луч с началом в точке O.
2. Установим циркуль в точку O и начертим дугу произвольного радиуса $r$. Точку пересечения дуги с лучом назовем A.
3. Не меняя раствора циркуля ($r$), установим его ножку в точку A и начертим еще одну дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку их пересечения назовем B.
4. С помощью линейки соединим точку O с точкой B, получив луч OB.
5. Образованный треугольник OAB является равносторонним, так как все его стороны равны радиусу $r$ ($OA = OB = AB = r$). Следовательно, все его углы равны $60^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle AOB$ равен $60^\circ$.

3) 15°

Угол в $15^\circ$ можно получить, разделив пополам угол в $30^\circ$. Таким образом, необходимо дважды последовательно применить построение биссектрисы, начиная с угла в $60^\circ$. То есть $15^\circ = (60^\circ / 2) / 2$.

1. Построим угол в $60^\circ$ ($\angle AOB$), как описано в пункте 2.
2. Построим его биссектрису OC, получив угол $\angle AOC = 30^\circ$, как описано в пункте 1.
3. Теперь построим биссектрису угла $\angle AOC$. Проведем дугу с центром в O, которая пересечет стороны OA и OC в точках M и N.
4. Из точек M и N проведем две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке D.
5. Проведем луч OD. Этот луч является биссектрисой угла $\angle AOC$.
6. Угол $\angle AOD$ равен $30^\circ / 2 = 15^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle AOD$ равен $15^\circ$.

4) 135°

Угол в $135^\circ$ можно построить как разность между развернутым углом ($180^\circ$) и углом в $45^\circ$. Угол в $45^\circ$ получается делением прямого угла ($90^\circ$) пополам. Таким образом, $135^\circ = 180^\circ - 45^\circ$.

1. Начертим прямую и отметим на ней точку O. Это создает развернутый угол в $180^\circ$. Отметим на прямой по разные стороны от O точки M и N.
2. В точке O построим перпендикуляр к прямой MN. Для этого проведем окружность с центром в O, которая пересечет прямую в двух точках. Из этих точек проведем две дуги одинакового радиуса, которые пересекутся в точке K. Проведем луч OK. Угол $\angle MOK$ равен $90^\circ$.
3. Построим биссектрису угла $\angle MOK$. Проведем дугу с центром в O, пересекающую лучи OM и OK в точках P и Q. Из точек P и Q проведем две дуги равного радиуса, которые пересекутся в точке L. Проведем луч OL.
4. Луч OL делит угол $\angle MOK$ пополам, поэтому угол $\angle MOL = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.
5. Искомый угол $\angle LON$ является смежным с углом $\angle MOL$. Его величина равна $180^\circ - \angle MOL = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle LON$ равен $135^\circ$.

5) 75°

Угол в $75^\circ$ можно построить как сумму углов в $60^\circ$ и $15^\circ$. Для этого сначала строим прямой угол ($90^\circ$), затем внутри него строим угол в $60^\circ$. Оставшийся угол в $30^\circ$ делим пополам, чтобы получить $15^\circ$, и добавляем его к $60^\circ$. Таким образом, $75^\circ = 60^\circ + (90^\circ - 60^\circ)/2$.

1. Построим прямой угол $\angle AOB = 90^\circ$. Для этого начертим луч OA и в точке O восстановим к нему перпендикуляр OB.
2. Проведем дугу с центром в O произвольного радиуса, которая пересечет лучи OA и OB в точках P и Q соответственно.
3. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку P и проведем дугу, которая пересечет первую дугу в точке C. Проведем луч OC. Угол $\angle AOC$ равен $60^\circ$.
4. Угол $\angle COB$, являющийся разностью углов $\angle AOB$ и $\angle AOC$, равен $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
5. Построим биссектрису угла $\angle COB$. Из точек C и Q проведем две дуги равного радиуса, которые пересекутся в точке D.
6. Проведем луч OD. Он делит угол $\angle COB$ пополам, поэтому $\angle COD = 15^\circ$.
7. Искомый угол $\angle AOD$ является суммой углов $\angle AOC$ и $\angle COD$. Его величина равна $60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle AOD$ равен $75^\circ$.