Номер 4.64, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.64. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Пусть требуется построить треугольник $ABC$, у которого известны:

• длина стороны $AB$, равная $c$;
• величина прилежащего к ней угла $\angle CAB$, равная $\alpha$;
• сумма длин двух других сторон $AC + BC$, равная $s$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На луче $AC$ отложим отрезок $AD$ так, чтобы его длина была равна заданной сумме сторон $s$. Таким образом, $AD = s = AC + BC$.

Поскольку точка $C$ лежит на отрезке $AD$, то $AD = AC + CD$. Сравнивая два равенства, получаем, что $BC = CD$.

Это означает, что треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике вершина (в данном случае $C$) равноудалена от концов основания ($B$ и $D$). Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Следовательно, искомая вершина $C$ должна лежать на пересечении двух линий:

1. Луча, выходящего из точки $A$ под углом $\alpha$ к отрезку $AB$.
2. Серединного перпендикуляра к отрезку $BD$.

Все элементы, необходимые для построения (точки $A$, $B$, $D$ и, следовательно, отрезок $BD$), могут быть построены по заданным условиям. Это позволяет сформулировать алгоритм построения.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AB$, равный заданной стороне $c$.
2. От луча $AB$ в выбранной полуплоскости откладываем угол, равный $\alpha$, и строим луч $AM$.
3. На луче $AM$ от точки $A$ откладываем отрезок $AD$, равный заданной сумме сторон $s$.
4. Соединяем точки $B$ и $D$ отрезком.
5. Строим серединный перпендикуляр $l$ к отрезку $BD$.
6. Точка пересечения серединного перпендикуляра $l$ с отрезком $AD$ является искомой вершиной $C$.
7. Соединяем точки $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $AB$ равна $c$ по построению.
• Угол $\angle CAB$ равен $\alpha$, так как вершина $C$ лежит на луче $AM$, который был построен под углом $\alpha$ к $AB$.
• Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, следовательно, $CB = CD$.
• Точка $C$ также лежит на отрезке $AD$, поэтому $AD = AC + CD$.
• Заменив в последнем равенстве $CD$ на равный ему отрезок $CB$, получаем $AD = AC + CB$.
• По построению, длина отрезка $AD$ равна $s$. Следовательно, сумма сторон $AC + BC = s$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем заданным условиям.

Исследование

Задача имеет решение, если описанное построение выполнимо и приводит к единственному результату. Построение возможно, если серединный перпендикуляр к $BD$ пересекает отрезок $AD$ (а не его продолжение).

Для существования любого треугольника необходимо выполнение неравенства треугольника. В нашем случае для $\triangle ABC$ должно выполняться $AC + BC > AB$, что эквивалентно $s > c$. Если $s \le c$, построение треугольника невозможно.

Рассмотрим вспомогательный треугольник $ABD$. Его стороны $AB=c$ и $AD=s$. Так как мы требуем $s > c$, то в $\triangle ABD$ сторона $AD$ длиннее стороны $AB$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, значит, $\angle ABD > \angle ADB$.

Серединный перпендикуляр к стороне треугольника ($BD$ в $\triangle ABD$) пересекает другую сторону ($AD$) во внутренней точке, если эта сторона ($AD$) длиннее третьей стороны ($AB$). Так как $AD = s > c = AB$, точка пересечения $C$ всегда будет лежать между точками $A$ и $D$.

Таким образом, при выполнении условия $s > c$ задача всегда имеет единственное решение (в выбранной полуплоскости). Если $s \le c$, задача решения не имеет.

Ответ: Для построения треугольника по стороне $c$, прилежащему углу $\alpha$ и сумме двух других сторон $s$ необходимо:

1. Построить отрезок $AB$ длиной $c$.
2. От луча $AB$ отложить угол $\alpha$, построив луч $AM$.
3. На луче $AM$ отложить отрезок $AD$, равный сумме $s$.
4. Соединить точки $B$ и $D$.
5. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
6. Точка $C$, в которой этот перпендикуляр пересекает отрезок $AD$, является третьей вершиной искомого треугольника $ABC$.

Данное построение возможно и дает единственное решение, если $s > c$.