Страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.62. Даны четыре точки: $A, B, C, D$. Найдите точку $X$, которая одинаково удалена от точек $A$ и $B$ и одинаково удалена от точек $C$ и $D$.

Решение задачи основано на понятии геометрического места точек (ГМТ). Искомая точка X должна одновременно удовлетворять двум условиям.

1. Условие равноудаленности от точек A и B

Точка X должна быть одинаково удалена от точек A и B. Это значит, что расстояние от X до A равно расстоянию от X до B, то есть $XA = XB$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (в данном случае A и B), — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезок AB). Обозначим этот серединный перпендикуляр как прямую $m_1$.

2. Условие равноудаленности от точек C и D

Аналогично, точка X должна быть одинаково удалена от точек C и D, то есть $XC = XD$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от C и D, — это серединный перпендикуляр к отрезку CD. Обозначим этот серединный перпендикуляр как прямую $m_2$.

3. Нахождение точки X

Так как точка X должна удовлетворять обоим условиям, она должна принадлежать обеим прямым, $m_1$ и $m_2$. Следовательно, искомая точка X является точкой пересечения серединных перпендикуляров $m_1$ и $m_2$.

В зависимости от взаимного расположения точек A, B, C и D, а следовательно, и прямых $m_1$ и $m_2$, задача может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.

Случай 1: Единственное решение (общий случай)

Если прямые $m_1$ и $m_2$ не параллельны, они пересекаются в одной-единственной точке. Эта точка и будет искомой точкой X. Прямые $m_1$ и $m_2$ не параллельны, если прямые, содержащие отрезки AB и CD, не параллельны. Это наиболее общий случай расположения четырех точек.

Для нахождения точки X нужно:

1. Построить серединный перпендикуляр $m_1$ к отрезку AB.
2. Построить серединный перпендикуляр $m_2$ к отрезку CD.
3. Найти точку пересечения $X = m_1 \cap m_2$.

Ответ: В общем случае, когда прямые AB и CD не параллельны, искомая точка X — это точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB и CD.

Случай 2: Решений нет

Если прямые AB и CD параллельны, то их серединные перпендикуляры $m_1$ и $m_2$ также будут параллельны. Если при этом $m_1$ и $m_2$ не совпадают, то они не имеют общих точек, и, следовательно, не существует точки X, удовлетворяющей условиям задачи.

Ответ: Если серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD являются различными параллельными прямыми, то решений не существует.

Случай 3: Бесконечно много решений

Если прямые AB и CD расположены так, что их серединные перпендикуляры $m_1$ и $m_2$ совпадают, то любая точка этой общей прямой будет равноудалена как от A и B, так и от C и D. В этом случае задача имеет бесконечное множество решений. Такое возможно, например, если отрезки AB и CD параллельны и расположены симметрично относительно общей оси (как основания в равнобокой трапеции), или если точки A, B, C, D лежат на одной прямой и середина отрезка AB совпадает с серединой отрезка CD.

Ответ: Если серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD совпадают, то решением является любая точка на этом общем перпендикуляре.

4.63. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.

Пусть нам нужно построить треугольник $ABC$, в котором известны сторона $AB=c$, угол $\angle A = \alpha$ и разность двух других сторон $|BC - AC| = d$. Обозначим $BC=a$ и $AC=b$. Таким образом, $|a-b|=d$. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Сторона, противолежащая заданному углу, больше прилежащей стороны ($a > b$)

В этом случае $a - b = d$, или $BC - AC = d$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На луче, противоположном лучу $AC$, отложим отрезок $AD$, равный $d$. Тогда точка $A$ лежит между точками $D$ и $C$. Длина отрезка $DC$ равна $DA + AC = d + b$. Поскольку по условию $a-b=d$, то $a = b+d$. Следовательно, $DC=a=BC$.

Это означает, что треугольник $DBC$ является равнобедренным с основанием $DB$. В равнобедренном треугольнике вершина $C$ должна лежать на серединном перпендикуляре к основанию $BD$.

Также точка $C$ должна лежать на луче $AX$, который образует угол $\alpha$ со стороной $AB$. Таким образом, точка $C$ является точкой пересечения луча $AX$ и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$.

Точку $D$ мы можем построить, так как ее положение относительно отрезка $AB$ определено: она лежит на прямой, содержащей сторону $AC$, на расстоянии $d$ от $A$, причем так, что $A$ находится между $D$ и $C$. Угол $\angle DAB = 180^\circ - \angle CAB = 180^\circ - \alpha$.

Отсюда вытекает следующий план построения.

Построение

1. Строим отрезок $AB$ длиной $c$.
2. От луча $AB$ откладываем угол, равный $\alpha$, и проводим луч $AM$. На этом луче будет лежать вершина $C$.
3. Проводим луч $AN$, противоположный лучу $AM$.
4. На луче $AN$ откладываем отрезок $AD$, равный $d$.
5. Соединяем точки $B$ и $D$ отрезком.
6. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
7. Точка пересечения серединного перпендикуляра и луча $AM$ является искомой вершиной $C$.
8. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB=c$ и $\angle CAB = \alpha$ по построению. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, следовательно, она равноудалена от его концов, то есть $BC = DC$. Точки $D, A, C$ лежат на одной прямой, причем $A$ между $D$ и $C$, поэтому $DC = DA + AC$. По построению $DA=d$. Таким образом, $BC = d + AC$, откуда $BC - AC = d$. Все условия задачи выполнены.

Исследование

Построение возможно, если серединный перпендикуляр к $BD$ пересекает луч $AM$ в единственной точке. Это происходит не всегда. Для существования треугольника $ABC$ необходимо выполнение неравенства треугольника: $AC+AB > BC$, то есть $b+c>a$. Подставляя $a=b+d$, получаем $b+c > b+d$, откуда $c>d$. Если $c \le d$, построение невозможно.

Также, если угол $\alpha$ тупой ($\alpha > 90^\circ$), для существования решения необходимо выполнение условия $d > c \cdot |\cos\alpha|$. Если $c>d$ и угол $\alpha$ острый или прямой ($\alpha \le 90^\circ$), решение всегда существует и единственно. Если $\alpha$ тупой, решение существует и единственно при выполнении двух условий: $c>d$ и $d > c \cdot |\cos\alpha|$.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенным шагам. Решение существует и единственно при выполнении условий, указанных в исследовании.

Случай 2: Сторона, прилежащая к заданному углу, больше противолежащей стороны ($b > a$)

В этом случае $b - a = d$, или $AC - BC = d$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На стороне $AC$ отложим отрезок $AD$, равный $d$. Тогда точка $D$ лежит между точками $A$ и $C$. Длина отрезка $DC$ равна $AC - AD = b - d$. Поскольку по условию $b-a=d$, то $a = b-d$. Следовательно, $DC=a=BC$.

Это означает, что треугольник $DBC$ является равнобедренным с основанием $DB$. Вершина $C$ должна лежать на серединном перпендикуляре к основанию $DB$.

Также точка $C$ должна лежать на луче $AM$, который образует угол $\alpha$ со стороной $AB$. Точка $D$ также лежит на этом луче. Таким образом, точка $C$ является точкой пересечения луча $AM$ и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$.

Вспомогательный треугольник $ABD$ мы можем построить по двум сторонам $AB=c$, $AD=d$ и углу между ними $\angle DAB = \alpha$.

Отсюда вытекает следующий план построения.

Построение

1. Строим отрезок $AB$ длиной $c$.
2. От луча $AB$ откладываем угол, равный $\alpha$, и проводим луч $AM$.
3. На луче $AM$ откладываем отрезок $AD$, равный $d$.
4. Соединяем точки $B$ и $D$ отрезком.
5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
6. Точка пересечения серединного перпендикуляра и луча $AM$ (прямой, содержащей $AM$) является искомой вершиной $C$.
7. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB=c$ и $\angle CAB = \alpha$ по построению. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, следовательно, $BC = DC$. Точки $A, D, C$ лежат на одной прямой, причем $D$ между $A$ и $C$, поэтому $AC = AD + DC$. По построению $AD=d$. Таким образом, $AC = d + BC$, откуда $AC - BC = d$. Все условия задачи выполнены.

Исследование

Для существования треугольника $ABC$ необходимо выполнение неравенства треугольника: $AB+BC > AC$, то есть $c+a>b$. Подставляя $b=a+d$, получаем $c+a > a+d$, откуда $c>d$. Если $c \le d$, построение невозможно.

Кроме того, если угол $\alpha$ прямой или тупой ($\alpha \ge 90^\circ$), то в треугольнике $ABC$ сторона $BC$ не может быть меньше стороны $AC$ ($a<b$ невозможно), так как против большего угла лежит большая сторона. Следовательно, в этом случае решение существует только если $a>b$ (Случай 1).

Для острого угла $\alpha$ ($ \alpha < 90^\circ $) решение существует и единственно, если выполняется условие $d < c \cdot \cos\alpha$. Если $d \ge c \cdot \cos\alpha$, решений нет.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенным шагам. Решение существует и единственно при выполнении условий, указанных в исследовании ($ \alpha < 90^\circ $ и $d < c \cdot \cos\alpha$).

4.64. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Пусть требуется построить треугольник $ABC$, у которого известны:

• длина стороны $AB$, равная $c$;
• величина прилежащего к ней угла $\angle CAB$, равная $\alpha$;
• сумма длин двух других сторон $AC + BC$, равная $s$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На луче $AC$ отложим отрезок $AD$ так, чтобы его длина была равна заданной сумме сторон $s$. Таким образом, $AD = s = AC + BC$.

Поскольку точка $C$ лежит на отрезке $AD$, то $AD = AC + CD$. Сравнивая два равенства, получаем, что $BC = CD$.

Это означает, что треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике вершина (в данном случае $C$) равноудалена от концов основания ($B$ и $D$). Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Следовательно, искомая вершина $C$ должна лежать на пересечении двух линий:

1. Луча, выходящего из точки $A$ под углом $\alpha$ к отрезку $AB$.
2. Серединного перпендикуляра к отрезку $BD$.

Все элементы, необходимые для построения (точки $A$, $B$, $D$ и, следовательно, отрезок $BD$), могут быть построены по заданным условиям. Это позволяет сформулировать алгоритм построения.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AB$, равный заданной стороне $c$.
2. От луча $AB$ в выбранной полуплоскости откладываем угол, равный $\alpha$, и строим луч $AM$.
3. На луче $AM$ от точки $A$ откладываем отрезок $AD$, равный заданной сумме сторон $s$.
4. Соединяем точки $B$ и $D$ отрезком.
5. Строим серединный перпендикуляр $l$ к отрезку $BD$.
6. Точка пересечения серединного перпендикуляра $l$ с отрезком $AD$ является искомой вершиной $C$.
7. Соединяем точки $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $AB$ равна $c$ по построению.
• Угол $\angle CAB$ равен $\alpha$, так как вершина $C$ лежит на луче $AM$, который был построен под углом $\alpha$ к $AB$.
• Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, следовательно, $CB = CD$.
• Точка $C$ также лежит на отрезке $AD$, поэтому $AD = AC + CD$.
• Заменив в последнем равенстве $CD$ на равный ему отрезок $CB$, получаем $AD = AC + CB$.
• По построению, длина отрезка $AD$ равна $s$. Следовательно, сумма сторон $AC + BC = s$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем заданным условиям.

Исследование

Задача имеет решение, если описанное построение выполнимо и приводит к единственному результату. Построение возможно, если серединный перпендикуляр к $BD$ пересекает отрезок $AD$ (а не его продолжение).

Для существования любого треугольника необходимо выполнение неравенства треугольника. В нашем случае для $\triangle ABC$ должно выполняться $AC + BC > AB$, что эквивалентно $s > c$. Если $s \le c$, построение треугольника невозможно.

Рассмотрим вспомогательный треугольник $ABD$. Его стороны $AB=c$ и $AD=s$. Так как мы требуем $s > c$, то в $\triangle ABD$ сторона $AD$ длиннее стороны $AB$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, значит, $\angle ABD > \angle ADB$.

Серединный перпендикуляр к стороне треугольника ($BD$ в $\triangle ABD$) пересекает другую сторону ($AD$) во внутренней точке, если эта сторона ($AD$) длиннее третьей стороны ($AB$). Так как $AD = s > c = AB$, точка пересечения $C$ всегда будет лежать между точками $A$ и $D$.

Таким образом, при выполнении условия $s > c$ задача всегда имеет единственное решение (в выбранной полуплоскости). Если $s \le c$, задача решения не имеет.

Ответ: Для построения треугольника по стороне $c$, прилежащему углу $\alpha$ и сумме двух других сторон $s$ необходимо:

1. Построить отрезок $AB$ длиной $c$.
2. От луча $AB$ отложить угол $\alpha$, построив луч $AM$.
3. На луче $AM$ отложить отрезок $AD$, равный сумме $s$.
4. Соединить точки $B$ и $D$.
5. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
6. Точка $C$, в которой этот перпендикуляр пересекает отрезок $AD$, является третьей вершиной искомого треугольника $ABC$.

Данное построение возможно и дает единственное решение, если $s > c$.

4.65. Постройте прямоугольный треугольник по катету и высоте, опущенной на гипотенузу.

Анализ

Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ построен. Пусть $\angle C = 90^\circ$, $AC = b$ — данный катет, а $CD = h$ — высота, опущенная из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$, образованный катетом $AC$, высотой $CD$ и проекцией катета $AD$ на гипотенузу. В этом треугольнике $\angle CDA = 90^\circ$, гипотенуза $AC$ равна данному катету $b$, а катет $CD$ равен данной высоте $h$. Этот треугольник мы можем построить по гипотенузе и катету.

Для того чтобы построение треугольника $ADC$ было возможно, необходимо, чтобы его гипотенуза была не меньше катета, то есть $b \ge h$. В случае $b = h$, точка $A$ совпадает с $D$, и высота $CD$ совпадает с катетом $AC$. Это означает, что катет $AC$ перпендикулярен гипотенузе, что возможно только если $\angle A = 90^\circ$. Но по условию $\angle C = 90^\circ$, значит, такой треугольник вырожден. Таким образом, для существования невырожденного треугольника необходимо строгое условие $b > h$.

После построения треугольника $ADC$ мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также прямой $AD$, на которой лежит гипотенуза искомого треугольника. Вершина $B$ должна лежать на прямой $AD$. Кроме того, так как $\angle ACB = 90^\circ$, прямая $BC$ должна быть перпендикулярна прямой $AC$. Следовательно, вершина $B$ — это точка пересечения прямой $AD$ и перпендикуляра к $AC$, проведенного через точку $C$.

Построение

Пусть даны два отрезка: $b$ (длина катета) и $h$ (длина высоты), причем $b > h$.

1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $D$.
2. Построим прямую $m$, проходящую через точку $D$ и перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $m$ отложим отрезок $DC$, равный по длине отрезку $h$.
4. С центром в точке $C$ построим окружность радиусом, равным длине отрезка $b$.
5. Поскольку $b > h$, эта окружность пересечет прямую $l$ в двух точках. Обозначим одну из точек пересечения буквой $A$.
6. Построим прямую $n$, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную прямой $AC$.
7. Точка пересечения прямых $l$ и $n$ будет третьей вершиной искомого треугольника. Обозначим ее $B$.
8. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

• По построению (шаг 4 и 5), $AC$ является радиусом окружности с центром $C$, поэтому его длина равна $b$.
• По построению (шаг 2 и 3), отрезок $CD$ перпендикулярен прямой $AB$ (лежащей на прямой $l$) и его длина равна $h$. Следовательно, $CD$ — высота треугольника $ABC$, опущенная на гипотенузу, и ее длина равна $h$.
• По построению (шаг 6 и 7), прямая $BC$ (совпадающая с прямой $n$) перпендикулярна прямой $AC$. Следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным, его катет равен $b$, а высота, опущенная на гипотенузу, равна $h$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Построение выполнено согласно приведенному выше алгоритму. Задача имеет решение при условии, что длина катета больше длины высоты, опущенной на гипотенузу.

4.66. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.

Задача состоит в построении треугольника $\triangle ABC$ по заданным длине стороны $a$ (пусть это будет сторона $BC$), величине противолежащего ей угла $\alpha$ ($\angle BAC$) и длине высоты $h$, проведенной к этой стороне из вершины $A$ (пусть это будет $AH_a$).

Для решения задачи воспользуемся методом геометрических мест точек (ГМТ). Вершина $A$ искомого треугольника должна удовлетворять двум условиям:

1. Отрезок $BC$ должен быть виден из нее под углом $\alpha$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, является дуга окружности, проходящая через точки $B$ и $C$.
2. Вершина $A$ должна быть удалена от прямой, содержащей сторону $BC$, на расстояние $h$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, являются две прямые, параллельные прямой $BC$ и отстоящие от нее на расстояние $h$.

Искомая вершина $A$ будет являться точкой пересечения этих двух геометрических мест.

Построение

1. На произвольной прямой отложим отрезок $BC$, равный данной стороне $a$.
2. Построим ГМТ, из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$. Для этого:
   • В точке $B$ на луче $BC$ построим угол $\angle CBM$, равный данному углу $\alpha$. Луч $BM$ должен лежать в одной из полуплоскостей относительно прямой $BC$.
   • Проведем прямую $k$, перпендикулярную лучу $BM$ в точке $B$.
   • Построим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $BC$.
   • Точку пересечения прямых $k$ и $m$ обозначим $O$. Эта точка является центром окружности, дуга которой является искомым ГМТ.
   • Построим дугу окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R = OB = OC$, расположенную в той же полуплоскости относительно прямой $BC$, что и точка $O$.
3. Построим ГМТ для вершины $A$, а именно прямую, параллельную $BC$ и удаленную от нее на расстояние $h$. Для этого:
   • В любой точке на прямой $BC$ (например, в точке $B$) восставим перпендикуляр к прямой $BC$.
   • На этом перпендикуляре отложим отрезок длиной $h$ в ту же полуплоскость, где построена дуга окружности. Обозначим конец этого отрезка точкой $K$.
   • Через точку $K$ проведем прямую $p$, параллельную прямой $BC$.
4. Точка (или точки) пересечения прямой $p$ и построенной дуги окружности является искомой вершиной $A$. Обозначим ее (или их) как $A$ (или $A_1$ и $A_2$).
5. Соединим точку $A$ (или $A_1$, $A_2$) с точками $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ (или треугольники $A_1BC$ и $A_2BC$) является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $\triangle ABC$:

• Сторона $BC$ равна $a$ по построению.
• Вершина $A$ лежит на дуге окружности, построенной так, что все ее точки являются вершинами углов величиной $\alpha$, опирающихся на хорду $BC$. Следовательно, $\angle BAC = \alpha$. Это следует из свойства угла между касательной ($BM$) и хордой ($BC$).
• Вершина $A$ лежит на прямой $p$, параллельной прямой $BC$ и находящейся на расстоянии $h$ от нее. Следовательно, высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, равна $h$.

Таким образом, построенный треугольник $\triangle ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Число решений задачи зависит от числа точек пересечения прямой $p$ и дуги окружности.

Наибольшее расстояние от точек дуги до прямой $BC$ соответствует вершине равнобедренного треугольника, в котором боковые стороны равны. Эту максимальную высоту можно вычислить как $h_{max} = \frac{a}{2}\cot(\frac{\alpha}{2})$.

• Если $h > h_{max}$, то прямая $p$ и дуга окружности не пересекаются, и задача не имеет решений.
• Если $h = h_{max}$, то прямая $p$ касается дуги в одной точке. Задача имеет одно решение (равнобедренный треугольник).
• Если $0 < h < h_{max}$, то прямая $p$ пересекает дугу в двух точках $A_1$ и $A_2$. Эти точки симметричны относительно серединного перпендикуляра к отрезку $BC$. Получающиеся треугольники $\triangle A_1BC$ и $\triangle A_2BC$ равны. В этом случае принято считать, что задача имеет одно решение (так как треугольники конгруэнтны).
• Если $h \le 0$, задача не имеет смысла.

Таким образом, задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие $0 < h \le \frac{a}{2}\cot(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: Задача решается построением двух геометрических мест точек для вершины $A$: дуги окружности, из которой сторона $a$ видна под углом $\alpha$, и прямой, параллельной стороне $a$ и отстоящей от нее на расстояние $h$. Искомая вершина является точкой их пересечения. Число решений (от 0 до 2 конгруэнтных треугольников) зависит от соотношения между $h$, $a$ и $\alpha$.

4.67. Даны прямая $a$ и отрезок $AB$. Постройте прямую $m$, параллельную прямой $a$ так, чтобы расстояние между прямыми $a$ и $m$ было равно $AB$.

Для построения прямой $m$, параллельной данной прямой $a$ на расстоянии, равном отрезку $AB$, необходимо выполнить следующую последовательность действий с помощью циркуля и линейки без делений.

Анализ задачи

Искомая прямая $m$ должна быть параллельна прямой $a$. Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Следовательно, нам нужно найти геометрическое место точек, удаленных от прямой $a$ на расстояние, равное длине отрезка $AB$. Таким геометрическим местом являются две прямые, параллельные $a$ и расположенные по разные стороны от нее. В рамках задачи достаточно построить одну из них.

Алгоритм построения

1. На прямой $a$ выберем произвольную точку $C$.
2. Через точку $C$ построим прямую $p$, перпендикулярную прямой $a$. Для этого:
   • Установим острие циркуля в точку $C$ и произвольным радиусом проведем дугу, пересекающую прямую $a$ в двух точках (назовем их $D$ и $E$).
   • Из точек $D$ и $E$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина $DE$) так, чтобы они пересеклись в точке $F$.
   • Соединив точки $C$ и $F$, получим прямую $p$, перпендикулярную $a$ ($p \perp a$).
3. Измерим циркулем длину отрезка $AB$, установив его ножки в точки $A$ и $B$.
4. На перпендикуляре $p$ отложим отрезок, равный $AB$. Для этого установим острие циркуля в точку $C$ и радиусом, равным длине $AB$, сделаем засечку на прямой $p$. Обозначим эту точку как $M$. Таким образом, $|CM| = |AB|$.
5. Через точку $M$ построим прямую $m$, параллельную прямой $a$. Самый простой способ — построить прямую, перпендикулярную $p$ и проходящую через точку $M$. Построение выполняется аналогично шагу 2. Полученная прямая $m$ и будет искомой.

Доказательство

По построению мы имеем $p \perp a$ (шаг 2) и $p \perp m$ (шаг 5). Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, прямые $a$ и $m$ параллельны: $a \parallel m$.

Расстояние между параллельными прямыми $a$ и $m$ измеряется по их общему перпендикуляру. Отрезок $CM$ лежит на прямой $p$, которая перпендикулярна обеим прямым, следовательно, его длина $|CM|$ и есть расстояние между $a$ и $m$. По построению (шаг 4) мы сделали $|CM| = |AB|$.

Таким образом, построенная прямая $m$ параллельна прямой $a$, и расстояние между ними равно длине отрезка $AB$. Задача решена.

Следует отметить, что задача имеет два решения, так как в шаге 4 мы можем отложить отрезок на прямой $p$ по любую из двух сторон от прямой $a$, получив две параллельные прямые, удовлетворяющие условию.

Ответ: Искомая прямая $m$ строится следующим образом: на прямой $a$ выбирается произвольная точка, через нее проводится перпендикуляр к прямой $a$. На этом перпендикуляре откладывается отрезок, равный по длине отрезку $AB$. Через конец этого отрезка проводится прямая, перпендикулярная построенному перпендикуляру. Эта прямая и будет искомой.

4.68. Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?

Через три данные точки проведите окружность.

Пусть даны три точки A, B и C. Центр искомой окружности, точка O, должен быть равноудален от всех трех точек, то есть расстояние от O до A, B и C должно быть одинаковым и равным радиусу $R$: $OA = OB = OC = R$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (например, A и B), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, центр окружности O должен лежать на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам, образованным данными точками.

Алгоритм построения:

1. Соединить точки, чтобы получить два отрезка, например, AB и BC.

2. Построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку AB.

3. Построить серединный перпендикуляр $n$ к отрезку BC.

4. Точка пересечения O прямых $m$ и $n$ будет являться центром искомой окружности.

5. Отрезок, соединяющий точку O с любой из данных точек (OA, OB или OC), будет радиусом $R$ окружности.

6. Построить окружность с центром O и радиусом $R$.

Ответ: Чтобы провести окружность через три точки, необходимо найти точку пересечения серединных перпендикуляров к двум отрезкам, соединяющим эти точки. Эта точка будет центром окружности, а расстояние от нее до любой из данных точек — радиусом.

Всегда ли задача имеет решение?

Решение задачи, описанное выше, зависит от существования точки пересечения серединных перпендикуляров $m$ и $n$. Рассмотрим два возможных случая расположения точек A, B и C.

Случай 1: Точки не лежат на одной прямой.

Если точки A, B и C не коллинеарны, они образуют вершины треугольника ABC. Отрезки AB и BC не лежат на одной прямой. Их серединные перпендикуляры $m$ и $n$ не будут параллельны, а значит, они пересекутся в единственной точке O. Эта точка и будет центром единственной окружности, проходящей через точки A, B и C (описанной окружности треугольника ABC). В этом случае задача имеет единственное решение.

Случай 2: Точки лежат на одной прямой.

Если точки A, B и C лежат на одной прямой (коллинеарны), то отрезки AB и BC также лежат на этой прямой. Серединные перпендикуляры $m$ и $n$ к этим отрезкам будут оба перпендикулярны одной и той же прямой, а следовательно, будут параллельны друг другу. Если точки A, B, C различны, то перпендикуляры $m$ и $n$ не совпадают и не имеют точек пересечения. Это означает, что не существует точки, равноудаленной от всех трех точек A, B и C. Таким образом, в этом случае провести окружность невозможно.

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда три данные точки не лежат на одной прямой.

4.69. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный:

1) $30^\circ$;

2) $60^\circ$;

3) $15^\circ$;

4) $135^\circ$;

5) $75^\circ$.

1) 30°

Угол в $30^\circ$ можно получить, разделив пополам угол в $60^\circ$. Для этого сначала строится угол в $60^\circ$, а затем его биссектриса.

1. Сначала построим угол в $60^\circ$. Для этого начертим луч с началом в точке O. Из точки O проведем дугу произвольного радиуса $r$, пересекающую луч в точке A. Затем, не меняя радиуса, из точки A проведем вторую дугу, пересекающую первую в точке B. Угол $\angle AOB$ равен $60^\circ$.
2. Для построения биссектрисы угла $\angle AOB$ проведем из точек A и B две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния AB) так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке C.
3. Проведем луч OC с помощью линейки.
4. Луч OC является биссектрисой угла $\angle AOB$, поэтому он делит его на два равных угла. Угол $\angle AOC$ и угол $\angle COB$ равны $60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle AOC$ (или $\angle COB$) равен $30^\circ$.

2) 60°

Угол в $60^\circ$ является внутренним углом равностороннего треугольника. Построение основано на создании такого треугольника.

1. Проведем произвольный луч с началом в точке O.
2. Установим циркуль в точку O и начертим дугу произвольного радиуса $r$. Точку пересечения дуги с лучом назовем A.
3. Не меняя раствора циркуля ($r$), установим его ножку в точку A и начертим еще одну дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку их пересечения назовем B.
4. С помощью линейки соединим точку O с точкой B, получив луч OB.
5. Образованный треугольник OAB является равносторонним, так как все его стороны равны радиусу $r$ ($OA = OB = AB = r$). Следовательно, все его углы равны $60^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle AOB$ равен $60^\circ$.

3) 15°

Угол в $15^\circ$ можно получить, разделив пополам угол в $30^\circ$. Таким образом, необходимо дважды последовательно применить построение биссектрисы, начиная с угла в $60^\circ$. То есть $15^\circ = (60^\circ / 2) / 2$.

1. Построим угол в $60^\circ$ ($\angle AOB$), как описано в пункте 2.
2. Построим его биссектрису OC, получив угол $\angle AOC = 30^\circ$, как описано в пункте 1.
3. Теперь построим биссектрису угла $\angle AOC$. Проведем дугу с центром в O, которая пересечет стороны OA и OC в точках M и N.
4. Из точек M и N проведем две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке D.
5. Проведем луч OD. Этот луч является биссектрисой угла $\angle AOC$.
6. Угол $\angle AOD$ равен $30^\circ / 2 = 15^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle AOD$ равен $15^\circ$.

4) 135°

Угол в $135^\circ$ можно построить как разность между развернутым углом ($180^\circ$) и углом в $45^\circ$. Угол в $45^\circ$ получается делением прямого угла ($90^\circ$) пополам. Таким образом, $135^\circ = 180^\circ - 45^\circ$.

1. Начертим прямую и отметим на ней точку O. Это создает развернутый угол в $180^\circ$. Отметим на прямой по разные стороны от O точки M и N.
2. В точке O построим перпендикуляр к прямой MN. Для этого проведем окружность с центром в O, которая пересечет прямую в двух точках. Из этих точек проведем две дуги одинакового радиуса, которые пересекутся в точке K. Проведем луч OK. Угол $\angle MOK$ равен $90^\circ$.
3. Построим биссектрису угла $\angle MOK$. Проведем дугу с центром в O, пересекающую лучи OM и OK в точках P и Q. Из точек P и Q проведем две дуги равного радиуса, которые пересекутся в точке L. Проведем луч OL.
4. Луч OL делит угол $\angle MOK$ пополам, поэтому угол $\angle MOL = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.
5. Искомый угол $\angle LON$ является смежным с углом $\angle MOL$. Его величина равна $180^\circ - \angle MOL = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle LON$ равен $135^\circ$.

5) 75°

Угол в $75^\circ$ можно построить как сумму углов в $60^\circ$ и $15^\circ$. Для этого сначала строим прямой угол ($90^\circ$), затем внутри него строим угол в $60^\circ$. Оставшийся угол в $30^\circ$ делим пополам, чтобы получить $15^\circ$, и добавляем его к $60^\circ$. Таким образом, $75^\circ = 60^\circ + (90^\circ - 60^\circ)/2$.

1. Построим прямой угол $\angle AOB = 90^\circ$. Для этого начертим луч OA и в точке O восстановим к нему перпендикуляр OB.
2. Проведем дугу с центром в O произвольного радиуса, которая пересечет лучи OA и OB в точках P и Q соответственно.
3. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку P и проведем дугу, которая пересечет первую дугу в точке C. Проведем луч OC. Угол $\angle AOC$ равен $60^\circ$.
4. Угол $\angle COB$, являющийся разностью углов $\angle AOB$ и $\angle AOC$, равен $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
5. Построим биссектрису угла $\angle COB$. Из точек C и Q проведем две дуги равного радиуса, которые пересекутся в точке D.
6. Проведем луч OD. Он делит угол $\angle COB$ пополам, поэтому $\angle COD = 15^\circ$.
7. Искомый угол $\angle AOD$ является суммой углов $\angle AOC$ и $\angle COD$. Его величина равна $60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle AOD$ равен $75^\circ$.

4.70. Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

Задача имеет два решения. Рассмотрим каждое из них.

Решение 1: Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла

Анализ

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и стороны $l_1$ и $l_2$. Искомая прямая $m$ проходит через точку $A$ и пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$ так, что отрезки, отсекаемые от вершины, равны: $OB = OC$.

Треугольник $OBC$, образованный сторонами угла и искомой прямой, является равнобедренным, так как $OB = OC$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине ($∠BOC$) является также высотой и медианой, проведенной к основанию ($BC$). Следовательно, биссектриса угла $O$ должна быть перпендикулярна искомой прямой $BC$.

Таким образом, задача сводится к построению прямой, проходящей через данную точку $A$ и перпендикулярной биссектрисе данного угла.

Построение

1. Обозначим вершину угла как $O$. Построим биссектрису $k$ угла $∠BOC$.
2. Из точки $A$ опустим перпендикуляр на биссектрису $k$. Для этого можно, например, построить окружность с центром в точке $A$, пересекающую биссектрису $k$ в двух точках, а затем построить серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки.
3. Построенная прямая, проходящая через $A$ и перпендикулярная $k$, и есть искомая прямая $m$.

Доказательство

Пусть построенная прямая $m$ пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$, а биссектрису $k$ в точке $H$. По построению $m \perp k$, значит $∠OHB = ∠OHC = 90°$.

Рассмотрим треугольники $ΔOHB$ и $ΔOHC$:

• $OH$ — общая сторона.
• $∠BOH = ∠COH$ (так как $OH$ — биссектриса угла $∠BOC$).
• $∠OHB = ∠OHC = 90°$ (по построению).

Следовательно, $ΔOHB = ΔOHC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $OB = OC$. Прямая $m$ проходит через точку $A$ и отсекает на сторонах угла равные отрезки.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная биссектрисе данного угла.

Решение 2: Прямая, параллельная биссектрисе угла

Анализ

Рассмотрим второй случай. Пусть искомая прямая $m$, проходящая через точку $A$, параллельна биссектрисе $k$ данного угла $∠BOC$. Пусть эта прямая пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$.

Докажем, что в этом случае треугольник $OBC$ также будет равнобедренным.

Пусть $k$ — биссектриса угла $∠BOC$. Тогда $∠BOK = ∠COK$.

Поскольку прямая $BC$ параллельна биссектрисе $k$ ($BC \parallel k$):

• Углы $∠OBC$ и $∠BOK$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $k$ и секущей $OB$. Следовательно, $∠OBC = ∠BOK$.
• Углы $∠OCB$ и $∠COK$ являются соответственными при параллельных прямых $BC$ и $k$ и секущей $OC$. Следовательно, $∠OCB = ∠COK$.

Так как $∠BOK = ∠COK$, то и $∠OBC = ∠OCB$. Это означает, что треугольник $OBC$ является равнобедренным с основанием $BC$, и, следовательно, $OB = OC$.

Таким образом, вторая искомая прямая проходит через точку $A$ и параллельна биссектрисе данного угла.

Построение

1. Обозначим вершину угла как $O$. Построим биссектрису $k$ угла $∠BOC$.
2. Через точку $A$ проведем прямую $m$, параллельную биссектрисе $k$.
3. Построенная прямая $m$ и есть вторая искомая прямая.

Доказательство

Пусть построенная прямая $m$ проходит через точку $A$ и параллельна биссектрисе $k$. Пусть $m$ пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Как показано в анализе, из условия $BC \parallel k$ следует, что $∠OBC = ∠OCB$. Следовательно, треугольник $OBC$ — равнобедренный, и $OB = OC$. Прямая $m$ проходит через точку $A$ и отсекает на сторонах угла равные отрезки.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через точку А и параллельная биссектрисе данного угла.

Таким образом, задача в общем случае имеет два решения. Исключением является случай, когда точка $A$ лежит на биссектрисе угла. В этом случае прямая, проходящая через $A$ и параллельная биссектрисе, совпадает с самой биссектрисой и не отсекает конечных отрезков на обеих сторонах угла (если угол не развернутый), поэтому решение остается одно — прямая, перпендикулярная биссектрисе.

4.71. Дан равносторонний треугольник $\triangle ABC$ и точка $B_1$ на стороне $AC$. На сторонах $BC$ и $AB$ постройте точки $A_1$ и $C_1$ так, чтобы треугольник $\triangle A_1 B_1 C_1$ был равносторонним.

Для решения этой задачи воспользуемся методом анализа, то есть предположим, что искомый равносторонний треугольник $A_1B_1C_1$ уже построен. Наша цель — найти свойства, которые позволят однозначно определить положение точек $A_1$ и $C_1$.

Анализ

Пусть $\triangle ABC$ — данный равносторонний треугольник, и точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ лежат на сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, причем $\triangle A_1B_1C_1$ также является равносторонним.

Рассмотрим три треугольника по углам $\triangle ABC$: $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$. Поскольку $\triangle ABC$ равносторонний, то $∠A = ∠B = ∠C = 60°$. Поскольку $\triangle A_1B_1C_1$ равносторонний, то $∠A_1B_1C_1 = ∠B_1C_1A_1 = ∠C_1A_1B_1 = 60°$.

Рассмотрим углы вокруг точки $B_1$ на прямой $AC$. Сумма углов $∠AB_1C_1$, $∠C_1B_1A_1$ и $∠A_1B_1C$ равна $180°$. $∠AB_1C_1 + 60° + ∠A_1B_1C = 180°$, откуда $∠AB_1C_1 + ∠A_1B_1C = 120°$.

Пусть $∠AC_1B_1 = \alpha$. Тогда в $\triangle AC_1B_1$ угол $∠AB_1C_1 = 180° - ∠A - ∠AC_1B_1 = 180° - 60° - \alpha = 120° - \alpha$. Тогда $∠A_1B_1C = 120° - ∠AB_1C_1 = 120° - (120° - \alpha) = \alpha$. Теперь рассмотрим $\triangle CB_1A_1$. В нем $∠C = 60°$ и $∠CB_1A_1 = \alpha$. Следовательно, третий угол $∠CA_1B_1 = 180° - 60° - \alpha = 120° - \alpha$.

Проведя аналогичные рассуждения для вершин $A_1$ и $C_1$, мы можем показать, что все три "угловых" треугольника ($\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$, $\triangle CB_1A_1$) имеют одинаковый набор углов: $60°$, $\alpha$ и $120°-\alpha$.

Теперь применим теорему синусов. В $\triangle AC_1B_1$: сторона $B_1C_1$ лежит напротив угла $∠A=60°$. В $\triangle BA_1C_1$: сторона $A_1C_1$ лежит напротив угла $∠B=60°$. В $\triangle CB_1A_1$: сторона $A_1B_1$ лежит напротив угла $∠C=60°$.

Так как $\triangle A_1B_1C_1$ равносторонний, то $A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1$. Поскольку у треугольников $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$ равны стороны, лежащие против равных углов ($60°$), и все углы соответственно равны, то эти три треугольника конгруэнтны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). $\triangle AC_1B_1 \cong \triangle BA_1C_1 \cong \triangle CB_1A_1$.

Из конгруэнтности треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AC_1 = BA_1 = CB_1$ $AB_1 = BC_1 = CA_1$

Эти равенства дают нам ключ к построению. Нам дана точка $B_1$, а значит, известны длины отрезков $AB_1$ и $CB_1$. Используя эти длины, мы можем построить точки $A_1$ и $C_1$.

Построение

1. На стороне $BC$ откладываем от вершины $C$ отрезок $CA_1$, равный по длине отрезку $AB_1$. Для этого можно использовать циркуль: измеряем расстояние $AB_1$ и проводим дугу с центром в точке $C$ до пересечения со стороной $BC$. Точка пересечения и будет искомой точкой $A_1$.

2. На стороне $AB$ откладываем от вершины $A$ отрезок $AC_1$, равный по длине отрезку $CB_1$. Аналогично, измеряем циркулем $CB_1$ и проводим дугу с центром в точке $A$ до пересечения со стороной $AB$. Точка пересечения и будет искомой точкой $C_1$.

Доказательство

Докажем, что построенный по этому алгоритму треугольник $A_1B_1C_1$ действительно является равносторонним. По построению мы имеем: $CA_1 = AB_1$ $AC_1 = CB_1$

Пусть сторона исходного треугольника $ABC$ равна $a$. Тогда $AB = BC = CA = a$. $CB_1 = CA - AB_1 = a - AB_1$. $BA_1 = BC - CA_1 = a - CA_1 = a - AB_1$. Следовательно, $AC_1 = CB_1 = BA_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AC_1B_1$ и $\triangle CB_1A_1$. В них: - $AC_1 = CB_1$ (по построению)

- $AB_1 = CA_1$ (по построению)

- $∠A = ∠C = 60°$ (как углы равностороннего треугольника)

Следовательно, $\triangle AC_1B_1 \cong \triangle CB_1A_1$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из этого следует, что их третьи стороны равны: $C_1B_1 = B_1A_1$.

Теперь сравним $\triangle CB_1A_1$ и $\triangle BA_1C_1$. Мы знаем, что $BC_1 = AB - AC_1 = a - AC_1$. Так как $AC_1 = CB_1$, то $BC_1 = a - CB_1$. Но $AB_1 = a - CB_1$. Значит, $BC_1 = AB_1$. А по построению $AB_1 = CA_1$. Таким образом, $BC_1 = CA_1$. В треугольниках $\triangle CB_1A_1$ и $\triangle BA_1C_1$: - $CB_1 = BA_1$ (как было показано выше, оба равны $a-AB_1$)

- $CA_1 = BC_1$ (как было показано выше, оба равны $AB_1$)

- $∠C = ∠B = 60°$

Следовательно, $\triangle CB_1A_1 \cong \triangle BA_1C_1$ по первому признаку. Из этого следует, что $B_1A_1 = A_1C_1$.

Таким образом, мы получили, что $C_1B_1 = B_1A_1$ и $B_1A_1 = A_1C_1$, а значит, все три стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны. Следовательно, $\triangle A_1B_1C_1$ является равносторонним. Построение верно.

Ответ: Чтобы построить точки $A_1$ и $C_1$, необходимо на стороне $BC$ отложить отрезок $CA_1$, равный отрезку $AB_1$, и на стороне $AB$ отложить отрезок $AC_1$, равный отрезку $CB_1$.

4.72*. Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне.

Для построения треугольника по стороне $a$, высоте $h_a$ и медиане $m_a$, проведенным к этой стороне, выполним следующие шаги, которые основываются на анализе, построении, доказательстве и исследовании.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC$ — данная сторона, равная $a$. $AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$, ее длина равна $m_a$. $AH$ — высота, опущенная на прямую $BC$, ее длина равна $h_a$. Точка $M$ — середина отрезка $BC$.

Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $AHM$, в котором гипотенуза $AM$ равна $m_a$, а катет $AH$ равен $h_a$. Построение этого треугольника является ключевым шагом, так как оно позволяет определить положение вершины $A$ относительно прямой, содержащей сторону $BC$, и положение середины $M$ этой стороны.

Таким образом, план построения сводится к следующему: сначала построить прямоугольный треугольник $AHM$ по известному катету $h_a$ и гипотенузе $m_a$, а затем, зная положение середины $M$ стороны $BC$ и ее длину $a$, построить саму сторону $BC$ и, следовательно, весь треугольник $ABC$.

Построение

1. Построим прямоугольный треугольник $AHM$ по катету $AH = h_a$ и гипотенузе $AM = m_a$:
   1. Проведем произвольную прямую $l$.
   2. Выберем на ней произвольную точку $H$ и проведем через нее прямую $p$, перпендикулярную прямой $l$.
   3. На прямой $p$ отложим отрезок $AH$, равный данной высоте $h_a$.
   4. С центром в точке $A$ проведем окружность радиусом, равным данной медиане $m_a$.
   5. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет точкой $M$. Если $m_a > h_a$, будет две точки пересечения, симметричные относительно $H$; мы можем выбрать любую из них. Если $m_a = h_a$, точка пересечения будет одна и совпадет с $H$. Если $m_a < h_a$, пересечения не будет, и построение невозможно.
2. Теперь на прямой $l$ построим сторону $BC$ длиной $a$ так, чтобы $M$ была ее серединой:
   1. С центром в точке $M$ проведем окружность радиусом $a/2$.
   2. Точки пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначим $B$ и $C$.
3. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ по построению имеет длину $BM + MC = a/2 + a/2 = a$. Точка $M$ является серединой $BC$, следовательно, отрезок $AM$ — медиана. Длина $AM$ по построению равна $m_a$. Отрезок $AH$ перпендикулярен прямой $BC$, и его длина равна $h_a$, следовательно, $AH$ — высота треугольника. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение только в том случае, когда возможно выполнить все шаги построения. Шаг 1(д) выполним только тогда, когда гипотенуза $m_a$ в прямоугольном треугольнике $AHM$ не меньше катета $h_a$.

• Если $m_a > h_a$, существует два симметричных положения для точки $M$. Однако оба приводят к построению конгруэнтных треугольников. Следовательно, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).
• Если $m_a = h_a$, точка $M$ совпадает с точкой $H$. В этом случае высота и медиана, проведенные из вершины $A$, совпадают, а треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Решение единственно.
• Если $m_a < h_a$, построение невозможно, так как окружность с центром $A$ и радиусом $m_a$ не пересечет прямую $l$. В этом случае задача не имеет решений.

Длина стороны $a$ не влияет на существование решения, а лишь определяет размеры основания треугольника.

Ответ: Построение подробно описано выше. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда длина медианы не меньше длины высоты, то есть $m_a \ge h_a$. При выполнении этого условия решение всегда существует и единственно с точностью до конгруэнтности.

4.73*:

Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $A$ — вершина, из которой проведены высота $AH$ и биссектриса $AD$. По условию, нам даны угол $\angle A = \alpha$, длина высоты $AH = h_a$ и длина биссектрисы $AD = l_a$. Точки $H$ (основание высоты) и $D$ (основание биссектрисы) лежат на прямой, содержащей сторону $BC$.

Рассмотрим треугольник $AHD$. Он является прямоугольным, так как $AH$ — высота, т.е. $AH \perp HD$. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AD = l_a$ и катет $AH = h_a$. Таким образом, мы можем построить треугольник $AHD$. Построив его, мы определим положение вершины $A$, прямой $BC$ (как прямой $HD$) и прямой, содержащей биссектрису $AD$.

Поскольку $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC = \alpha$, то углы $\angle BAD$ и $\angle CAD$ равны $\alpha/2$. Зная положение луча $AD$, мы можем построить лучи $AB$ и $AC$, отложив от луча $AD$ в разные стороны углы, равные $\alpha/2$. Точки $B$ и $C$ будут лежать на пересечении этих лучей с прямой $HD$.

Построение

1. Построить прямоугольный треугольник $AHD$ по катету $AH = h_a$ и гипотенузе $AD = l_a$. Для этого:

а) Провести произвольную прямую $m$.

б) Выбрать на ней произвольную точку $H$.

в) Через точку $H$ провести прямую, перпендикулярную прямой $m$.

г) На этом перпендикуляре отложить отрезок $HA$ длиной, равной данной высоте $h_a$.

д) Из точки $A$ как из центра провести дугу окружности радиусом, равным данной биссектрисе $l_a$.

е) Точка пересечения этой дуги с прямой $m$ будет точкой $D$.

2. Построить стороны $AB$ и $AC$ треугольника. Для этого:

а) Построить угол, равный $\alpha/2$ (путём построения угла $\alpha$ и его биссектрисы).

б) От луча $AD$ по одну сторону отложить угол, равный $\alpha/2$. Полученный луч обозначим $r_1$.

в) От луча $AD$ по другую сторону отложить угол, равный $\alpha/2$. Полученный луч обозначим $r_2$.

3. Найти вершины $B$ и $C$.

а) Точка $B$ является точкой пересечения луча $r_1$ и прямой $m$.

б) Точка $C$ является точкой пересечения луча $r_2$ и прямой $m$.

4. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ отрезок $AH$ является высотой, проведённой к стороне $BC$ (так как $AH \perp m$ по построению), и его длина равна $h_a$ (по построению). Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, так как по построению $\angle BAD = \angle CAD = \alpha/2$, а его длина равна $l_a$ (по построению). Величина угла $\angle BAC$ равна $\angle BAD + \angle CAD = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение не при любых значениях $\alpha$, $h_a$ и $l_a$.

1. Построение точки $D$ возможно, если $l_a \ge h_a$. В противном случае (гипотенуза меньше катета в $\triangle AHD$) решений нет.

2. Построение точек $B$ и $C$ возможно, если лучи $AB$ и $AC$ пересекают прямую $m$. Это произойдёт, если они не параллельны ей, то есть не перпендикулярны высоте $AH$. Угол между лучом $AC$ (или $AB$) и высотой $AH$ должен быть по абсолютной величине меньше $90^\circ$. Наибольший из этих углов — это $\angle HAC = \angle HAD + \alpha/2$. Условие существования: $\angle HAD + \alpha/2 < 90^\circ$. Из прямоугольного $\triangle AHD$ имеем $\cos(\angle HAD) = h_a/l_a$. Условие принимает вид $\arccos(h_a/l_a) + \alpha/2 < 90^\circ$, что равносильно $\frac{h_a}{l_a} > \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Таким образом, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение при одновременном выполнении двух условий: $l_a \ge h_a$ и $h_a > l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$. Если хотя бы одно из условий не выполняется, построение треугольника невозможно.

Ответ: Алгоритм построения описан выше. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются условия $l_a \ge h_a$ и $h_a > l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$.

4.74*. Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $A$. На стороне $AB$ постройте точку $K$, находящуюся на расстоянии $AK$ от прямой $BC$.

Анализ

Пусть K — искомая точка на стороне AB прямоугольного треугольника ABC (угол A — прямой). Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую BC. По условию задачи, расстояние от K до BC равно AK, то есть $KH = AK$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KBH (угол H — прямой). В нем катет $KH = KB \cdot \sin(\angle B)$.

В исходном треугольнике ABC, $\sin(\angle B) = \frac{AC}{BC}$.

Подставим это в выражение для KH: $KH = KB \cdot \frac{AC}{BC}$.

Так как по условию $KH = AK$, получаем: $AK = KB \cdot \frac{AC}{BC}$.

Точка K лежит на отрезке AB, поэтому $KB = AB - AK$.

Подставим это в наше равенство:

$AK = (AB - AK) \cdot \frac{AC}{BC}$

$AK \cdot BC = (AB - AK) \cdot AC$

$AK \cdot BC = AB \cdot AC - AK \cdot AC$

$AK \cdot BC + AK \cdot AC = AB \cdot AC$

$AK \cdot (BC + AC) = AB \cdot AC$

Отсюда находим длину отрезка AK:

$AK = \frac{AB \cdot AC}{BC + AC}$

Это соотношение можно переписать в виде пропорции: $\frac{AK}{AC} = \frac{AB}{BC + AC}$. Данную пропорцию можно построить с помощью циркуля и линейки, используя теорему Фалеса (обобщенную теорему о пропорциональных отрезках).

Построение

1. На луче BC от точки C отложим отрезок CD, равный по длине отрезку AC. Точка C будет лежать между B и D. Таким образом, мы строим отрезок BD, длина которого равна $BC + AC$.
2. Соединим точки A и D отрезком. Получим треугольник ABD.
3. Через точку C проведем прямую, параллельную отрезку AD. Для этого можно, например, построить угол BСM, равный углу BDA, так, чтобы точка M лежала на отрезке AB.
4. Точка пересечения этой прямой со стороной AB и будет искомой точкой K.

Ответ: Точка K построена как пересечение стороны AB и прямой, проходящей через точку C параллельно прямой AD, где точка D такова, что B-C-D и CD=AC.

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABD и прямую CK, которая пересекает стороны AB и BD. По построению прямая CK параллельна прямой AD ($CK \parallel AD$).

По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от двух других сторон пропорциональные отрезки:

$\frac{BK}{BA} = \frac{BC}{BD}$

По построению $BD = BC + AC$. Следовательно:

$\frac{BK}{AB} = \frac{BC}{BC + AC}$

Выразим отсюда BK: $BK = \frac{AB \cdot BC}{BC + AC}$.

Так как $AK = AB - BK$, то:

$AK = AB - \frac{AB \cdot BC}{BC + AC} = \frac{AB(BC+AC) - AB \cdot BC}{BC+AC} = \frac{AB \cdot BC + AB \cdot AC - AB \cdot BC}{BC+AC} = \frac{AB \cdot AC}{BC+AC}$.

Теперь найдем расстояние от точки K до прямой BC. Опустим перпендикуляр KH на BC. Из подобия прямоугольных треугольников ABC и KBH (по общему острому углу B) следует:

$\frac{KH}{AC} = \frac{KB}{BC}$

Отсюда $KH = \frac{KB \cdot AC}{BC}$. Подставим найденное ранее выражение для KB:

$KH = \frac{(\frac{AB \cdot BC}{BC + AC}) \cdot AC}{BC} = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{(BC + AC) \cdot BC} = \frac{AB \cdot AC}{BC + AC}$.

Сравнивая выражения для AK и KH, видим, что $AK = KH$. Таким образом, построенная точка K удовлетворяет условию задачи. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что для построенной точки K выполняется равенство $AK = KH$.

Исследование

Построение всегда возможно, если дан невырожденный прямоугольный треугольник ABC.

1. Построение точки D на продолжении стороны BC единственно.
2. Прямая AD определяется однозначно.
3. Через точку C можно провести единственную прямую, параллельную AD.
4. Так как прямые AB и AD не параллельны (они пересекаются в точке A), то прямая CK, будучи параллельной AD, не будет параллельна AB. Следовательно, прямые CK и AB пересекаются в единственной точке K.
5. Проверим, лежит ли точка K на отрезке AB. Из пропорции $\frac{BK}{AB} = \frac{BC}{BC + AC}$ следует, что $0 < \frac{BC}{BC+AC} < 1$. Значит, $0 < BK < AB$. Это означает, что точка K всегда лежит строго между точками A и B.

Таким образом, задача всегда имеет ровно одно решение.

Ответ: Задача имеет единственное решение.