Страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.36. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Пусть даны две различные точки, назовем их $A$ и $B$. Нам необходимо найти геометрическое место точек (ГМТ), которые являются центрами всех окружностей, проходящих через эти две точки.

Обозначим центр такой окружности буквой $O$.

Если окружность с центром в точке $O$ проходит через точки $A$ и $B$, то по определению окружности, расстояния от центра до этих точек равны. Эти расстояния являются радиусом $R$ данной окружности.

Следовательно, для любой точки $O$, являющейся центром такой окружности, должно выполняться равенство: $OA = OB = R$

Таким образом, задача сводится к нахождению геометрического места точек $O$, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$.

Известно, что геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку.

Доказательство:

Докажем, что искомым ГМТ является именно серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

1. Прямое утверждение: Возьмем любую точку $O$, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. По свойству серединного перпендикуляра, эта точка равноудалена от концов отрезка, то есть $OA = OB$. Если мы проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$, то она обязательно пройдет и через точку $B$, так как $OB$ также равно $R$. Следовательно, любая точка на серединном перпендикуляре является центром окружности, проходящей через $A$ и $B$.

2. Обратное утверждение: Пусть точка $O$ — центр некоторой окружности, которая проходит через точки $A$ и $B$. Тогда по определению окружности $OA = OB$ как радиусы. Это означает, что точка $O$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Множество всех таких точек образует серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Значит, точка $O$ обязательно лежит на этом серединном перпендикуляре.

Поскольку мы доказали оба утверждения, искомое геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки, полностью совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки.

4.37. Найдите геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой.

Задача состоит в том, чтобы найти геометрическое место точек (ГМТ), то есть множество всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии $d$ (где $d > 0$) от заданной прямой $l$.

По определению, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Искомое геометрическое место точек представляет собой две прямые, параллельные данной прямой $l$ и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии $d$. Проведем полное доказательство этого факта.

Обозначим эти две параллельные прямые как $a$ и $b$. Нам нужно доказать, что любая точка, удовлетворяющая условию, лежит на одной из этих прямых, и любая точка, лежащая на этих прямых, удовлетворяет условию.

1. Докажем, что любая точка на прямых $a$ и $b$ находится на расстоянии $d$ от прямой $l$.

Пусть точка $M$ принадлежит прямой $a$. Прямая $a$ по построению параллельна прямой $l$ и находится на расстоянии $d$ от нее. По определению расстояния между параллельными прямыми, расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой постоянно и равно $d$. Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $l$ равно $d$. Аналогичное рассуждение справедливо для любой точки на прямой $b$. Таким образом, все точки прямых $a$ и $b$ принадлежат искомому ГМТ.

2. Докажем, что любая точка, находящаяся на расстоянии $d$ от прямой $l$, принадлежит одной из прямых $a$ или $b$.

Пусть точка $N$ — это произвольная точка, расстояние от которой до прямой $l$ равно $d$. Опустим из точки $N$ перпендикуляр $NH$ на прямую $l$ (где $H$ — точка на прямой $l$). По условию, длина этого перпендикуляра $NH$ равна $d$. Точка $N$ лежит на прямой, проходящей через нее параллельно прямой $l$. Расстояние между этой прямой и прямой $l$ как раз равно длине их общего перпендикуляра, то есть $d$. В зависимости от того, по какую сторону от прямой $l$ находится точка $N$, эта параллельная прямая совпадет либо с прямой $a$, либо с прямой $b$. Следовательно, точка $N$ обязательно лежит на одной из этих двух прямых.

Таким образом, мы доказали, что искомое геометрическое место точек — это в точности объединение двух прямых $a$ и $b$.

Ответ: Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, — это две прямые, параллельные данной прямой и расположенные по обе стороны от нее на этом расстоянии.

4.38. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$. Расстояние между ними является постоянной величиной, обозначим ее $h$. Задача состоит в том, чтобы найти множество всех точек $M$, для которых расстояние до прямой $l_1$ равно расстоянию до прямой $l_2$. Математически это условие записывается как $d(M, l_1) = d(M, l_2)$.

Доказательство состоит из двух частей, так как для описания геометрического места точек (ГМТ) необходимо доказать, что:

1) все точки искомой фигуры обладают заданным свойством;

2) никакие другие точки этим свойством не обладают.

Предположим, что искомое ГМТ — это прямая $c$, которая параллельна прямым $l_1$ и $l_2$ и проходит посередине между ними.

1. Докажем, что каждая точка прямой $c$ равноудалена от $l_1$ и $l_2$.

Пусть точка $M$ лежит на прямой $c$. По определению, прямая $c$ проходит на одинаковом расстоянии от $l_1$ и $l_2$. Это расстояние равно половине расстояния между $l_1$ и $l_2$, то есть $h/2$.

Расстояние от любой точки прямой $c$ до прямой $l_1$ постоянно и равно расстоянию между этими параллельными прямыми, то есть $d(M, l_1) = h/2$. Аналогично, расстояние от любой точки прямой $c$ до прямой $l_2$ равно $d(M, l_2) = h/2$.

Следовательно, для любой точки $M$ на прямой $c$ выполняется равенство $d(M, l_1) = d(M, l_2)$. Это доказывает, что все точки прямой $c$ принадлежат искомому ГМТ.

2. Докажем, что любая точка, равноудаленная от $l_1$ и $l_2$, лежит на прямой $c$.

Пусть точка $M$ равноудалена от прямых $l_1$ и $l_2$. Точка $M$ должна находиться в полосе между прямыми $l_1$ и $l_2$. Если бы она находилась вне этой полосы (например, со стороны $l_1$), то расстояние до $l_2$ было бы равно сумме расстояния до $l_1$ и расстояния между прямыми $h$: $d(M, l_2) = d(M, l_1) + h$. Так как $h > 0$, равенство $d(M, l_1) = d(M, l_2)$ было бы невозможным.

Итак, точка $M$ лежит между $l_1$ и $l_2$. Проведем через точку $M$ прямую, перпендикулярную $l_1$ и $l_2$. Пусть она пересекает $l_1$ в точке $A$ и $l_2$ в точке $B$. Отрезок $AB$ является общим перпендикуляром, и его длина равна расстоянию между прямыми: $AB = h$.

Расстояние от $M$ до $l_1$ — это длина отрезка $MA$, а расстояние до $l_2$ — длина отрезка $MB$. По условию, $MA = MB$. Так как точка $M$ лежит на отрезке $AB$, то $AB = MA + MB$. Заменяя $MB$ на $MA$, получаем $h = MA + MA = 2 \cdot MA$. Отсюда следует, что $MA = h/2$.

Это означает, что любая точка $M$, равноудаленная от $l_1$ и $l_2$, находится на постоянном расстоянии $h/2$ от прямой $l_1$ (и, соответственно, от $l_2$). Множество всех таких точек, как известно, образует прямую, параллельную $l_1$ и проходящую между $l_1$ и $l_2$. Это и есть прямая $c$.

Таким образом, мы доказали, что искомое геометрическое место точек в точности совпадает с множеством точек прямой $c$.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, есть прямая, параллельная этим двум прямым и проходящая посередине между ними.

4.39. Даны отрезок PQ и угол (hk). Постройте треугольник ABC так, чтобы:

1) $AB=PQ, \angle ABC = \angle (hk), \angle BAC = \frac{1}{2} \angle (hk);$

2) $AB=PQ, \angle ABC = \angle (hk), \angle BAC = \frac{1}{4} \angle (hk).$

Данная задача решается методом построения треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. Для этого используются стандартные построения циркулем и линейкой: копирование отрезка, копирование угла и построение биссектрисы угла.

1) AB = PQ, ∠ABC = ∠(hk), ∠BAC = $\frac{1}{2}$∠(hk);

Для построения треугольника ABC необходимо иметь сторону AB и два угла, прилежащих к ней: ∠ABC и ∠BAC.

Анализ:

По условию, сторона AB равна отрезку PQ, угол ∠ABC равен данному углу ∠(hk), а угол ∠BAC равен половине угла ∠(hk). Следовательно, прежде чем строить треугольник, необходимо построить угол, равный $\frac{1}{2}$∠(hk). Это делается с помощью построения биссектрисы данного угла.

Построение:

1. Построение угла, равного $\frac{1}{2}$∠(hk). Возьмем данный угол ∠(hk) с вершиной в точке O. Проведем из точки O дугу произвольного радиуса, которая пересечет стороны угла (лучи h и k) в точках M и N. Затем из точек M и N проведем две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке L. Луч OL является биссектрисой угла ∠(hk), и, следовательно, ∠(h, OL) = $\frac{1}{2}$∠(hk).
2. Построение стороны AB. На произвольной прямой `a` выберем точку A. С помощью циркуля измерим длину отрезка PQ. Отложим эту длину на прямой `a` от точки A, получив точку B. Таким образом, отрезок AB = PQ.
3. Построение углов при стороне AB. От луча AB в выбранной полуплоскости построим угол, равный $\frac{1}{2}$∠(hk) (используя построенный в шаге 1 угол). Пусть второй луч этого угла будет `l`. Затем от луча BA в той же полуплоскости построим угол, равный данному углу ∠(hk). Пусть второй луч этого угла будет `m`.
4. Определение вершины C. Лучи `l` и `m` пересекутся в точке C. Такое пересечение возможно, если сумма углов при стороне AB меньше 180°, то есть ∠ABC + ∠BAC < 180°, или ∠(hk) + $\frac{1}{2}$∠(hk) < 180°, что означает $\frac{3}{2}$∠(hk) < 180°, или ∠(hk) < 120°.

Доказательство:

В построенном треугольнике ABC сторона AB = PQ, ∠BAC = $\frac{1}{2}$∠(hk) и ∠ABC = ∠(hk) по построению. Следовательно, треугольник ABC является искомым.

Ответ: Треугольник ABC, построенный по вышеописанному алгоритму, удовлетворяет всем заданным условиям.

2) AB = PQ, ∠ABC = ∠(hk), ∠BAC = $\frac{1}{4}$∠(hk).

Данный пункт решается аналогично первому, но требует построения угла, равного четверти данного угла.

Анализ:

По условию, AB = PQ, ∠ABC = ∠(hk) и ∠BAC = $\frac{1}{4}$∠(hk). Чтобы получить угол, равный $\frac{1}{4}$∠(hk), необходимо дважды последовательно применить операцию построения биссектрисы.

Построение:

1. Построение угла, равного $\frac{1}{4}$∠(hk). Сначала, как в пункте 1, строим биссектрису угла ∠(hk), получая угол, равный $\frac{1}{2}$∠(hk). Затем строим биссектрису этого нового угла. В результате получаем угол, величина которого равна $\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}∠(hk)\right) = \frac{1}{4}∠(hk)$.
2. Построение стороны AB. Аналогично пункту 1, строим отрезок AB на прямой, равный по длине отрезку PQ.
3. Построение углов при стороне AB. От луча AB в выбранной полуплоскости строим угол, равный $\frac{1}{4}$∠(hk) (построенный в шаге 1). Пусть второй луч этого угла будет `p`. Затем от луча BA в той же полуплоскости строим угол, равный данному углу ∠(hk). Пусть второй луч этого угла будет `q`.
4. Определение вершины C. Точка C является пересечением лучей `p` и `q`. Построение возможно, если сумма углов ∠ABC + ∠BAC < 180°, то есть ∠(hk) + $\frac{1}{4}$∠(hk) < 180°, что означает $\frac{5}{4}$∠(hk) < 180°, или ∠(hk) < 144°.

Доказательство:

В построенном треугольнике ABC сторона AB = PQ, ∠BAC = $\frac{1}{4}$∠(hk) и ∠ABC = ∠(hk) по построению. Следовательно, треугольник ABC является искомым.

Ответ: Треугольник ABC, построенный по вышеописанному алгоритму, удовлетворяет всем заданным условиям.

4.40. Даны два угла $(hk)$, $(h_1 k_1)$ и отрезок $PQ$. Постройте треугольник ABC так, чтобы $AB = PQ$, $\angle A = \angle(hk)$, $\angle B = \frac{1}{2}\angle(h_1 k_1)$.

Данная задача является задачей на построение с помощью циркуля и линейки. Для её решения разобьем процесс на несколько стандартных этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. Согласно условию, его сторона $AB$ имеет длину, равную длине отрезка $PQ$. Угол при вершине $A$ ($\angle A$) равен заданному углу $\angle(hk)$, а угол при вершине $B$ ($\angle B$) равен половине заданного угла $\angle(h_1k_1)$. Это классическая задача на построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. Для выполнения построения нам необходимо иметь сторону $AB$ и два угла, $\angle A$ и $\angle B$. Сторона $AB$ и угол $\angle A$ даны непосредственно. Угол $\angle B$ можно получить, построив биссектрису угла $\angle(h_1k_1)$. Вершина $C$ искомого треугольника будет являться точкой пересечения лучей, проведенных из точек $A$ и $B$ под соответствующими углами.

Построение

1. Сначала построим угол, равный $\frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$. Для этого необходимо построить биссектрису данного угла $\angle(h_1k_1)$.

а) Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла $\angle(h_1k_1)$. Точки пересечения окружности со сторонами угла $h_1$ и $k_1$ обозначим $M$ и $N$.

б) Из точек $M$ и $N$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (радиус должен быть больше половины расстояния между $M$ и $N$) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Обозначим точку их пересечения $L$.

в) Проведем луч из вершины угла $\angle(h_1k_1)$ через точку $L$. Этот луч делит угол $\angle(h_1k_1)$ на два равных угла, каждый из которых равен $\frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$.

2. Проведем произвольную прямую $a$ и отметим на ней точку $A$.

3. С помощью циркуля отложим на прямой $a$ от точки $A$ отрезок $AB$, длина которого равна длине данного отрезка $PQ$.

4. От луча $AB$ в выбранной полуплоскости построим угол, равный данному углу $\angle(hk)$, с вершиной в точке $A$. Для этого используем стандартную процедуру копирования угла. Получим луч $m$.

5. От луча $BA$ в той же полуплоскости построим угол, равный $\frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$ (построенному на шаге 1), с вершиной в точке $B$. Получим луч $n$.

6. Точка пересечения лучей $m$ и $n$ является третьей вершиной треугольника. Обозначим её $C$.

7. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB=PQ$ по построению (шаг 3). Угол $\angle A$ равен $\angle(hk)$ по построению (шаг 4). Угол $\angle B$ равен $\frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$ по построению (шаги 1 и 5). Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям, указанным в задаче.

Исследование

Задача имеет решение только в том случае, если лучи $m$ и $n$, построенные на шагах 4 и 5, пересекаются. Лучи, исходящие из концов отрезка ($A$ и $B$) и расположенные в одной полуплоскости, пересекаются тогда и только тогда, когда сумма углов при основании меньше $180^\circ$. Таким образом, для существования треугольника $ABC$ необходимо и достаточно выполнение условия: $\angle A + \angle B < 180^\circ$. Подставив значения из условия, получим: $\angle(hk) + \frac{1}{2}\angle(h_1k_1) < 180^\circ$. Если это условие выполняется, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности). Если же $\angle(hk) + \frac{1}{2}\angle(h_1k_1) \ge 180^\circ$, лучи не пересекутся (будут параллельны или расходящимися), и построить такой треугольник невозможно.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится по стороне $AB=PQ$ и двум прилежащим к ней углам: $\angle A = \angle(hk)$ и $\angle B = \frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$. Для построения угла $\angle B$ сначала строится биссектриса угла $\angle(h_1k_1)$. Задача имеет решение только при выполнении условия $\angle(hk) + \frac{1}{2}\angle(h_1k_1) < 180^\circ$.

4.41. Постройте прямоугольный треугольник 4 по двум катетам (рис 4.24).

Для построения прямоугольного треугольника по двум заданным катетам с помощью циркуля и линейки без делений, предположим, что длины этих катетов равны $a$ и $b$.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольную прямую $l$ и выберем на ней произвольную точку $C$. Эта точка будет вершиной прямого угла искомого треугольника.
2. Построим прямую $m$, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную прямой $l$. Это можно сделать следующим образом:
   • Проведем окружность с центром в точке $C$ и произвольным радиусом. Эта окружность пересечет прямую $l$ в двух точках, назовем их $D$ и $E$.
   • Из точек $D$ и $E$ как из центров проведем две окружности с одинаковым радиусом (радиус должен быть больше половины длины отрезка $DE$, например, можно взять радиус, равный $DE$).
   • Точку пересечения этих двух окружностей (назовем ее $F$) соединим с точкой $C$. Прямая $m$, проходящая через точки $C$ и $F$, будет перпендикулярна прямой $l$.
   Таким образом, мы построили прямой угол, лучи которого лежат на прямых $l$ и $m$.
3. На одном из лучей с вершиной в точке $C$, например, на луче, лежащем на прямой $l$, отложим отрезок, равный длине одного из катетов, $a$. Для этого измерим циркулем длину $a$, установим ножку циркуля в точку $C$ и проведем дугу, пересекающую прямую $l$. Точку пересечения обозначим $B$. Мы получили катет $CB = a$.
4. На другом луче, лежащем на прямой $m$, отложим от точки $C$ отрезок, равный длине второго катета, $b$. Аналогично, измерим циркулем длину $b$, установим ножку в точку $C$ и проведем дугу, пересекающую прямую $m$. Точку пересечения обозначим $A$. Мы получили катет $CA = b$.
5. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком. Этот отрезок является гипотенузой.

Построенный треугольник $\triangle ABC$ является искомым. Он прямоугольный, так как угол $\angle C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$) по построению. Его катеты $CA$ и $CB$ равны заданным длинам $b$ и $a$ соответственно, также по построению.

Ответ: Искомый прямоугольный треугольник построен.

4.42. Постройте равнобедренный треугольник:

1) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию;

2) по основанию и углу при основании;

3) по боковой стороне и углу при вершине;

4) по основанию и боковой стороне;

5) по основанию и медиане, проведенной к основанию.

1) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию;

Пусть дана боковая сторона длиной $b$ и угол, противолежащий основанию (то есть угол при вершине), равный $\alpha$.

1. Проведем произвольный луч с началом в точке $A$. Точка $A$ будет вершиной искомого треугольника.
2. От этого луча в точке $A$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим второй луч, выходящий из точки $A$.
3. На обоих лучах отложим от точки $A$ отрезки, равные длине боковой стороны $b$. Получим точки $B$ и $C$ так, что $AB = AC = b$.
4. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком.
5. Треугольник $ABC$ является искомым равнобедренным треугольником, так как у него две стороны ($AB$ и $AC$) равны $b$, а угол между ними ($\angle BAC$) равен $\alpha$.

Ответ: Треугольник построен.

2) по основанию и углу при основании;

Пусть дано основание длиной $a$ и угол при основании, равный $\beta$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

1. Построим отрезок $BC$ длиной, равной данному основанию $a$.
2. В точке $B$ отложим угол, равный данному углу $\beta$, так, чтобы одна его сторона совпадала с лучом $BC$. Проведем второй луч из точки $B$.
3. В точке $C$ отложим угол, равный тому же углу $\beta$, так, чтобы одна его сторона совпадала с лучом $CB$. Проведем второй луч из точки $C$ в ту же полуплоскость относительно прямой $BC$.
4. Точку пересечения построенных лучей обозначим $A$.
5. Треугольник $ABC$ является искомым. Его основание $BC$ равно $a$, а углы при основании $\angle ABC$ и $\angle ACB$ равны $\beta$. По признаку равнобедренного треугольника, если углы при основании равны, то и противолежащие им стороны $AB$ и $AC$ равны.

Ответ: Треугольник построен.

3) по боковой стороне и углу при вершине;

Данная задача полностью совпадает с задачей 1), так как "угол, противолежащий основанию" и "угол при вершине" — это один и тот же угол в равнобедренном треугольнике. Пусть дана боковая сторона длиной $b$ и угол при вершине $\alpha$.

1. Построим угол, равный данному углу $\alpha$. Обозначим его вершину как $A$.
2. На сторонах этого угла отложим от вершины $A$ отрезки $AB$ и $AC$, равные данной длине боковой стороны $b$.
3. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком.
4. Треугольник $ABC$ — искомый, так как по построению $AB = AC = b$ и угол между ними $\angle BAC = \alpha$.

Ответ: Треугольник построен.

4) по основанию и боковой стороне;

Пусть дано основание длиной $a$ и боковая сторона длиной $b$. Для того чтобы треугольник существовал, должно выполняться неравенство треугольника: $a < b + b$, то есть $a < 2b$.

1. Построим отрезок $BC$ длиной, равной данному основанию $a$.
2. Из центра в точке $B$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине боковой стороны $b$.
3. Из центра в точке $C$ проведем дугу окружности тем же радиусом $b$.
4. Точку пересечения этих дуг (можно выбрать любую из двух) обозначим как $A$.
5. Соединим точку $A$ с точками $B$ и $C$ отрезками.
6. Треугольник $ABC$ является искомым равнобедренным треугольником, так как его основание $BC$ равно $a$, а боковые стороны $AB$ и $AC$ по построению равны $b$.

Ответ: Треугольник построен.

5) по основанию и медиане, проведенной к основанию.

Пусть дано основание длиной $a$ и медиана, проведенная к нему, длиной $m$. Ключевое свойство: в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также его высотой.

1. Построим отрезок $BC$ длиной, равной данному основанию $a$.
2. Найдем середину отрезка $BC$. Для этого построим его серединный перпендикуляр. Обозначим точку середины как $M$.
3. Прямая, построенная на предыдущем шаге, перпендикулярна $BC$ и проходит через его середину $M$.
4. На этой прямой отложим от точки $M$ отрезок $MA$ длиной, равной данной медиане $m$.
5. Соединим точку $A$ с точками $B$ и $C$ отрезками.
6. Треугольник $ABC$ является искомым. Его основание $BC=a$. $AM$ — медиана ($BM=MC$) и ее длина равна $m$. Так как медиана $AM$ одновременно является высотой ($AM \perp BC$), то прямоугольные треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по двум катетам. Следовательно, их гипотенузы равны: $AB = AC$. Значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Ответ: Треугольник построен.

4.43. Даны отрезки длиной $a$, $b$ и $c$. Постройте треугольник $ABC$ так, чтобы $AB = a$, $BC = b$, $AC = 2c$. Всегда ли задача имеет решение?

Построение треугольника ABC

Для построения треугольника ABC со сторонами $AB = a$, $BC = b$ и $AC = 2c$ с помощью циркуля и линейки, имея заданные отрезки $a, b, c$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Начертить произвольную прямую и отметить на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля измерить длину отрезка $c$. Отложить эту длину от точки $A$ дважды в одном направлении по прямой, отметив конечную точку как $C$. Таким образом, будет построен отрезок $AC$ длиной $2c$.
3. Установить раствор циркуля равным длине отрезка $a$ и провести дугу окружности с центром в точке $A$.
4. Установить раствор циркуля равным длине отрезка $b$ и провести дугу окружности с центром в точке $C$.
5. Точка пересечения этих двух дуг будет третьей вершиной треугольника — $B$. (Если дуги не пересекаются, то треугольник построить невозможно, о чем говорится во второй части задачи).
6. Соединить точку $B$ с точками $A$ и $C$ отрезками.

В результате будет построен треугольник $ABC$, стороны которого удовлетворяют условиям задачи: $AB = a$, $BC = b$ и $AC = 2c$.

Ответ: Построение выполняется с помощью циркуля и линейки. На прямой откладывается отрезок $AC$ длиной $2c$. Затем из точек $A$ и $C$ как из центров проводятся дуги окружностей радиусами $a$ и $b$ соответственно. Точка пересечения этих дуг является вершиной $B$.

Всегда ли задача имеет решение?

Нет, задача имеет решение не всегда. Чтобы можно было построить треугольник с заданными сторонами, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны.

Для треугольника $ABC$ со сторонами $a$, $b$ и $2c$ должны одновременно выполняться три неравенства:

• $a + b > 2c$
• $a + 2c > b$
• $b + 2c > a$

Задача имеет решение только в том случае, если все три неравенства верны для заданных длин отрезков $a, b$ и $c$. Если хотя бы одно из них не выполняется, то дуги окружностей при построении не пересекутся, и треугольник построить будет невозможно.

Например, пусть даны отрезки $a=3$, $b=4$, $c=4$. Тогда стороны искомого треугольника должны быть равны $3$, $4$ и $2c=8$. Проверим неравенство $a+b > 2c$. Получаем $3+4 > 8$, что является ложным утверждением ($7 \ngtr 8$). Следовательно, с такими длинами сторон треугольник построить нельзя.

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение только тогда, когда для длин сторон $a, b, 2c$ выполняется неравенство треугольника, то есть когда верны все три соотношения: $a + b > 2c$, $a + 2c > b$ и $b + 2c > a$.

4.44. Даны отрезки длиной $a$, $b$ и $c$. Постройте треугольник ABC так, чтобы $AB = 2a$, $BC = b$, $AC = c$. Всегда ли задача имеет решение?

Задача состоит из двух частей: описание алгоритма построения треугольника и анализ условий, при которых это построение возможно.

Построение треугольника ABC

Для построения треугольника ABC со сторонами $AB = 2a$, $BC = b$ и $AC = c$ с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить произвольную прямую и выбрать на ней точку A.
2. С помощью циркуля измерить длину данного отрезка a. Отложить на прямой от точки A два раза подряд эту длину в одном направлении и отметить конец второго отрезка как точку B. Таким образом, будет построен отрезок AB длиной $2a$.
3. С помощью циркуля измерить длину отрезка c. Поместить острие циркуля в точку A и провести дугу окружности радиусом c.
4. С помощью циркуля измерить длину отрезка b. Поместить острие циркуля в точку B и провести дугу окружности радиусом b.
5. Точка пересечения этих двух дуг будет являться третьей вершиной треугольника — точкой C. Если дуги пересекаются в двух точках, можно выбрать любую из них.
6. Соединить точки A, B и C отрезками. Полученный треугольник ABC является искомым.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному алгоритму с использованием циркуля и линейки.

Всегда ли задача имеет решение?

Нет, задача имеет решение не всегда. Для того чтобы треугольник с заданными длинами сторон можно было построить, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника. Это правило гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны.

Для нашего случая, стороны треугольника ABC имеют длины $2a$, $b$ и $c$. Следовательно, для существования такого треугольника должны одновременно выполняться три неравенства:

• $AB + AC > BC \implies 2a + c > b$
• $AB + BC > AC \implies 2a + b > c$
• $AC + BC > AB \implies c + b > 2a$

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то построение невозможно. Геометрически это означает, что дуги, построенные в шагах 3 и 4, не пересекутся (или коснутся в одной точке, если одно из неравенств обращается в равенство, что приведет к вырожденному треугольнику, у которого все вершины лежат на одной прямой).

Ответ: Задача имеет решение только тогда, когда для длин отрезков a, b и c одновременно выполняются три неравенства: $2a + c > b$, $2a + b > c$ и $b + c > 2a$.

4.45. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к основанию.

Для построения равнобедренного треугольника по заданным основанию $a$ и высоте $h$, проведенной к нему, воспользуемся ключевым свойством равнобедренного треугольника: высота, проведенная к основанию, является также медианой. Это значит, что высота делит основание пополам и перпендикулярна ему. Таким образом, вершина, противолежащая основанию, будет лежать на серединном перпендикуляре к основанию на расстоянии, равном высоте, от этого основания.

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки следующим образом:

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный длине заданного основания $a$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ как из центров проведем дуги окружностей одинакового радиуса (большего, чем половина длины отрезка $AC$) до их пересечения. Соединив точки пересечения дуг, получим прямую, которая перпендикулярна отрезку $AC$ и проходит через его середину. Обозначим точку пересечения этой прямой и отрезка $AC$ буквой $H$.
3. На построенном серединном перпендикуляре от точки $H$ отложим отрезок $HB$, длина которого равна заданной высоте $h$. Точка $B$ — это третья вершина искомого треугольника.
4. Соединим точку $B$ с точками $A$ и $C$ отрезками.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ является искомым. По построению, его основание $AC$ равно заданной длине $a$. Отрезок $BH$ перпендикулярен $AC$ (так как лежит на серединном перпендикуляре) и его длина равна $h$, следовательно, $BH$ — высота треугольника, равная заданной. Поскольку высота $BH$ также является медианой (так как точка $H$ — середина $AC$), треугольник $ABC$ по признаку равнобедренного треугольника является равнобедренным с основанием $AC$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Треугольник, построенный по описанному алгоритму, является искомым равнобедренным треугольником.

4.46. Постройте прямоугольный треугольник:

1) по гипотенузе и острому углу;

2) по гипотенузе и катету;

3) по катету и прилежащему острому углу;

4) по катету и противолежащему острому углу.

1) по гипотенузе и острому углу

Пусть нам дан отрезок $c$, равный гипотенузе, и острый угол $\alpha$. Необходимо построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, гипотенузой $AB = c$ и острым углом $\angle A = \alpha$.

Анализ: Вершина прямого угла $C$ искомого треугольника должна лежать на окружности, диаметром которой является гипотенуза $AB$. Также вершина $C$ должна лежать на стороне угла $\alpha$, построенного у вершины $A$.

Построение:

1. Построим отрезок $AB$, равный данному отрезку $c$. Этот отрезок будет гипотенузой нашего треугольника.
2. Найдем середину отрезка $AB$, точку $O$. Для этого построим две окружности с центрами в точках $A$ и $B$ и одинаковым радиусом (большим половины длины $AB$). Прямая, проходящая через точки пересечения этих окружностей, пересечет $AB$ в его середине $O$.
3. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$. Любая точка на этой окружности (кроме $A$ и $B$) образует с точками $A$ и $B$ прямоугольный треугольник.
4. От луча $AB$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$. Для этого с центром в вершине данного угла $\alpha$ проведем дугу, пересекающую его стороны. Не меняя раствора циркуля, проведем дугу с центром в точке $A$ так, чтобы она пересекла луч $AB$ (например, в точке $D$). Затем измерим циркулем расстояние между точками пересечения первой дуги со сторонами угла $\alpha$ и отложим это расстояние на второй дуге от точки $D$, получив точку $E$.
5. Проведем луч $AE$. Точка пересечения этого луча с окружностью, построенной в шаге 3, будет третьей вершиной треугольника, точкой $C$.
6. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком.

Доказательство: Треугольник $ABC$ – искомый, так как его гипотенуза $AB$ равна $c$ по построению. Угол $\angle CAB$ равен $\alpha$ по построению. Угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$, поскольку он является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AB$ окружности.

Ответ: Треугольник построен.

2) по гипотенузе и катету

Пусть нам дан отрезок $c$, равный гипотенузе, и отрезок $a$, равный одному из катетов. Необходимо построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетом $BC = a$ и гипотенузой $AB = c$.

Анализ: Вершина $B$ находится на расстоянии $a$ от вершины прямого угла $C$. Вершина $A$ находится на расстоянии $c$ от вершины $B$ и лежит на прямой, перпендикулярной катету $BC$ и проходящей через точку $C$.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую и выберем на ней точку $C$.
2. В точке $C$ восстановим перпендикуляр к этой прямой. Для этого построим окружность с центром в $C$ произвольного радиуса, которая пересечет прямую в двух точках. Затем из этих двух точек построим две окружности одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности). Прямая, проходящая через точки пересечения этих двух окружностей, будет перпендикулярна исходной прямой в точке $C$.
3. На исходной прямой от точки $C$ отложим отрезок, равный данному катету $a$. Получим точку $B$.
4. Из точки $B$ как из центра проведем окружность с радиусом, равным длине гипотенузы $c$.
5. Точка пересечения этой окружности с перпендикуляром, построенным в шаге 2, будет третьей вершиной треугольника, точкой $A$. (Задача имеет решение, если $c > a$).
6. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

Доказательство: Треугольник $ABC$ – искомый, так как $\angle C=90^\circ$ по построению, катет $BC$ равен $a$ по построению, и гипотенуза $AB$ равна $c$ как радиус окружности, построенной из центра $B$.

Ответ: Треугольник построен.

3) по катету и прилежащему острому углу

Пусть нам дан отрезок $b$, равный катету, и прилежащий к нему острый угол $\alpha$. Необходимо построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетом $AC = b$ и углом $\angle CAB = \alpha$.

Анализ: Треугольник определяется двумя сторонами и углом между ними (в данном случае прямой угол между катетами) или стороной и двумя прилежащими углами. Мы знаем катет $AC$, прилежащий угол $\alpha$ и прямой угол $C$.

Построение:

1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный данному катету $b$.
2. В точке $C$ восстановим перпендикуляр к прямой $AC$. На этом перпендикуляре будет лежать катет $BC$.
3. От луча $AC$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$. Построим луч $AM$ так, чтобы $\angle CAM = \alpha$.
4. Точка пересечения луча $AM$ (содержащего гипотенузу) с перпендикуляром, построенным в шаге 2 (содержащим второй катет), будет третьей вершиной треугольника, точкой $B$.

Доказательство: В построенном треугольнике $ABC$ катет $AC$ равен $b$ по построению, угол $\angle CAB$ равен $\alpha$ по построению, и угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$ по построению. Следовательно, треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Треугольник построен.

4) по катету и противолежащему острому углу

Пусть нам дан отрезок $a$, равный катету, и противолежащий ему острый угол $\alpha$. Необходимо построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетом $BC=a$ и углом $\angle BAC = \alpha$.

Анализ: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Следовательно, другой острый угол, прилежащий к катету $BC$, будет равен $\angle ABC = 90^\circ - \alpha$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника по катету ($BC=a$) и прилежащему к нему острому углу ($\angle ABC = 90^\circ - \alpha$), что соответствует предыдущему случаю (пункт 3).

Построение:

Сначала выполним построение угла, равного $90^\circ - \alpha$:

1. Построим прямой угол. Для этого проведем прямую, отметим на ней точку $O$, и восстановим к ней перпендикуляр в этой точке. Получим лучи $OK$ и $OL$, так что $\angle KOL = 90^\circ$.
2. От луча $OK$ внутрь прямого угла отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Получим луч $OM$.
3. Угол $\angle MOL$ будет искомым углом, равным $90^\circ - \alpha$.

Теперь построим сам треугольник:

1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный данному катету $a$.
2. В точке $C$ восстановим перпендикуляр к прямой $BC$.
3. От луча $CB$ отложим угол (с вершиной в точке $B$), равный построенному углу $\angle MOL = 90^\circ - \alpha$. Построим луч $BP$.
4. Точка пересечения луча $BP$ с перпендикуляром, построенным в шаге 5, будет третьей вершиной треугольника, точкой $A$.

Доказательство: В построенном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$ по построению, катет $BC = a$ по построению, и $\angle ABC = 90^\circ - \alpha$ по построению. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle BAC = 180^\circ - \angle ACB - \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Треугольник построен.

4.47. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Пусть даны три отрезка, определяющие длины двух сторон треугольника, $a$ и $b$, и длину медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$. Требуется построить треугольник $ABC$ с помощью циркуля и линейки, у которого $BC = a$, $AC = b$, и медиана из вершины $A$ на сторону $BC$ равна $m_a$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда $AM$ — это медиана, и по условию $AM = m_a$. Так как $M$ является серединой отрезка $BC$, то длина отрезка $MC$ составляет половину длины стороны $BC$, то есть $MC = \frac{1}{2}a$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMC$. В этом треугольнике известны длины всех трех его сторон:

• $AC = b$ (по условию)
• $AM = m_a$ (по условию)
• $MC = \frac{a}{2}$ (как половина стороны $a$)

Следовательно, мы можем построить треугольник $AMC$ по трем сторонам. Построив этот треугольник, мы найдем три точки: $A$, $M$ и $C$. Вершина $B$ искомого треугольника $ABC$ лежит на одной прямой с точками $C$ и $M$, причем $M$ является серединой отрезка $BC$. Значит, точку $B$ можно найти, продлив отрезок $CM$ за точку $M$ на расстояние, равное длине $CM$. Соединив точки $A$ и $B$, мы получим искомый треугольник.

Построение

Алгоритм построения с использованием циркуля и линейки:

1. Построить отрезок $MC$ длиной $\frac{a}{2}$. Для этого можно сначала отложить отрезок длиной $a$, а затем найти его середину, построив серединный перпендикуляр.
2. Построить треугольник $AMC$ по трем известным сторонам. Для этого:
   • Из точки $C$ провести дугу окружности радиусом $b$.
   • Из точки $M$ провести дугу окружности радиусом $m_a$.
   • Точку пересечения этих двух дуг обозначить буквой $A$.
3. Соединить точки $A$, $M$ и $C$ отрезками. Треугольник $AMC$ построен.
4. На луче $CM$ отложить от точки $M$ отрезок $MB$, равный по длине отрезку $MC$.
5. Соединить точку $A$ с точкой $B$ отрезком.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.По построению, сторона $AC$ имеет длину $b$. Сторона $BC$ состоит из двух отрезков $BM$ и $MC$. Так как по построению $MC = \frac{a}{2}$ и $BM = MC$, то $BC = BM + MC = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$. Отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой $M$ стороны $BC$, следовательно, $AM$ является медианой этого треугольника. Длина медианы $AM$ по построению равна $m_a$.Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет стороны и медиану, равные заданным отрезкам.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно выполнить шаг 2 построения, то есть построить вспомогательный треугольник $AMC$. Треугольник можно построить по трем сторонам, если длины этих сторон удовлетворяют неравенству треугольника. В нашем случае это означает, что сумма длин любых двух из отрезков $b$, $m_a$ и $\frac{a}{2}$ должна быть строго больше длины третьего отрезка:

$b + m_a > \frac{a}{2}$

$b + \frac{a}{2} > m_a$

$m_a + \frac{a}{2} > b$

Если эти три условия выполнены, то дуги на шаге 2 пересекутся в двух точках, симметричных относительно прямой $MC$. Это приведет к построению двух равных (конгруэнтных) треугольников, что считается одним решением. Если одно из неравенств превращается в равенство, то точки $A$, $M$, $C$ будут лежать на одной прямой, и треугольник $ABC$ выродится в отрезок. Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то построение невозможно, и задача не имеет решения.

Ответ: Для построения треугольника по двум сторонам $a$, $b$ и медиане $m_a$, проведенной к стороне $a$, следует: 1. Построить вспомогательный треугольник $AMC$ по трем сторонам: $AC = b$, $AM = m_a$ и $MC = a/2$. 2. На прямой $CM$ отложить от точки $M$ отрезок $MB = MC$ в сторону, противоположную $C$. 3. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Полученный $\triangle ABC$ является искомым. Задача имеет решение, если длины $b$, $m_a$ и $a/2$ удовлетворяют неравенствам треугольника.