Номер 4.43, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.43. Даны отрезки длиной $a$, $b$ и $c$. Постройте треугольник $ABC$ так, чтобы $AB = a$, $BC = b$, $AC = 2c$. Всегда ли задача имеет решение?

Построение треугольника ABC

Для построения треугольника ABC со сторонами $AB = a$, $BC = b$ и $AC = 2c$ с помощью циркуля и линейки, имея заданные отрезки $a, b, c$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Начертить произвольную прямую и отметить на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля измерить длину отрезка $c$. Отложить эту длину от точки $A$ дважды в одном направлении по прямой, отметив конечную точку как $C$. Таким образом, будет построен отрезок $AC$ длиной $2c$.
3. Установить раствор циркуля равным длине отрезка $a$ и провести дугу окружности с центром в точке $A$.
4. Установить раствор циркуля равным длине отрезка $b$ и провести дугу окружности с центром в точке $C$.
5. Точка пересечения этих двух дуг будет третьей вершиной треугольника — $B$. (Если дуги не пересекаются, то треугольник построить невозможно, о чем говорится во второй части задачи).
6. Соединить точку $B$ с точками $A$ и $C$ отрезками.

В результате будет построен треугольник $ABC$, стороны которого удовлетворяют условиям задачи: $AB = a$, $BC = b$ и $AC = 2c$.

Ответ: Построение выполняется с помощью циркуля и линейки. На прямой откладывается отрезок $AC$ длиной $2c$. Затем из точек $A$ и $C$ как из центров проводятся дуги окружностей радиусами $a$ и $b$ соответственно. Точка пересечения этих дуг является вершиной $B$.

Всегда ли задача имеет решение?

Нет, задача имеет решение не всегда. Чтобы можно было построить треугольник с заданными сторонами, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны.

Для треугольника $ABC$ со сторонами $a$, $b$ и $2c$ должны одновременно выполняться три неравенства:

• $a + b > 2c$
• $a + 2c > b$
• $b + 2c > a$

Задача имеет решение только в том случае, если все три неравенства верны для заданных длин отрезков $a, b$ и $c$. Если хотя бы одно из них не выполняется, то дуги окружностей при построении не пересекутся, и треугольник построить будет невозможно.

Например, пусть даны отрезки $a=3$, $b=4$, $c=4$. Тогда стороны искомого треугольника должны быть равны $3$, $4$ и $2c=8$. Проверим неравенство $a+b > 2c$. Получаем $3+4 > 8$, что является ложным утверждением ($7 \ngtr 8$). Следовательно, с такими длинами сторон треугольник построить нельзя.

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение только тогда, когда для длин сторон $a, b, 2c$ выполняется неравенство треугольника, то есть когда верны все три соотношения: $a + b > 2c$, $a + 2c > b$ и $b + 2c > a$.