Номер 4.39, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.39. Даны отрезок PQ и угол (hk). Постройте треугольник ABC так, чтобы:

1) $AB=PQ, \angle ABC = \angle (hk), \angle BAC = \frac{1}{2} \angle (hk);$

2) $AB=PQ, \angle ABC = \angle (hk), \angle BAC = \frac{1}{4} \angle (hk).$

Данная задача решается методом построения треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. Для этого используются стандартные построения циркулем и линейкой: копирование отрезка, копирование угла и построение биссектрисы угла.

1) AB = PQ, ∠ABC = ∠(hk), ∠BAC = $\frac{1}{2}$∠(hk);

Для построения треугольника ABC необходимо иметь сторону AB и два угла, прилежащих к ней: ∠ABC и ∠BAC.

Анализ:

По условию, сторона AB равна отрезку PQ, угол ∠ABC равен данному углу ∠(hk), а угол ∠BAC равен половине угла ∠(hk). Следовательно, прежде чем строить треугольник, необходимо построить угол, равный $\frac{1}{2}$∠(hk). Это делается с помощью построения биссектрисы данного угла.

Построение:

1. Построение угла, равного $\frac{1}{2}$∠(hk). Возьмем данный угол ∠(hk) с вершиной в точке O. Проведем из точки O дугу произвольного радиуса, которая пересечет стороны угла (лучи h и k) в точках M и N. Затем из точек M и N проведем две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке L. Луч OL является биссектрисой угла ∠(hk), и, следовательно, ∠(h, OL) = $\frac{1}{2}$∠(hk).
2. Построение стороны AB. На произвольной прямой `a` выберем точку A. С помощью циркуля измерим длину отрезка PQ. Отложим эту длину на прямой `a` от точки A, получив точку B. Таким образом, отрезок AB = PQ.
3. Построение углов при стороне AB. От луча AB в выбранной полуплоскости построим угол, равный $\frac{1}{2}$∠(hk) (используя построенный в шаге 1 угол). Пусть второй луч этого угла будет `l`. Затем от луча BA в той же полуплоскости построим угол, равный данному углу ∠(hk). Пусть второй луч этого угла будет `m`.
4. Определение вершины C. Лучи `l` и `m` пересекутся в точке C. Такое пересечение возможно, если сумма углов при стороне AB меньше 180°, то есть ∠ABC + ∠BAC < 180°, или ∠(hk) + $\frac{1}{2}$∠(hk) < 180°, что означает $\frac{3}{2}$∠(hk) < 180°, или ∠(hk) < 120°.

Доказательство:

В построенном треугольнике ABC сторона AB = PQ, ∠BAC = $\frac{1}{2}$∠(hk) и ∠ABC = ∠(hk) по построению. Следовательно, треугольник ABC является искомым.

Ответ: Треугольник ABC, построенный по вышеописанному алгоритму, удовлетворяет всем заданным условиям.

2) AB = PQ, ∠ABC = ∠(hk), ∠BAC = $\frac{1}{4}$∠(hk).

Данный пункт решается аналогично первому, но требует построения угла, равного четверти данного угла.

Анализ:

По условию, AB = PQ, ∠ABC = ∠(hk) и ∠BAC = $\frac{1}{4}$∠(hk). Чтобы получить угол, равный $\frac{1}{4}$∠(hk), необходимо дважды последовательно применить операцию построения биссектрисы.

Построение:

1. Построение угла, равного $\frac{1}{4}$∠(hk). Сначала, как в пункте 1, строим биссектрису угла ∠(hk), получая угол, равный $\frac{1}{2}$∠(hk). Затем строим биссектрису этого нового угла. В результате получаем угол, величина которого равна $\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}∠(hk)\right) = \frac{1}{4}∠(hk)$.
2. Построение стороны AB. Аналогично пункту 1, строим отрезок AB на прямой, равный по длине отрезку PQ.
3. Построение углов при стороне AB. От луча AB в выбранной полуплоскости строим угол, равный $\frac{1}{4}$∠(hk) (построенный в шаге 1). Пусть второй луч этого угла будет `p`. Затем от луча BA в той же полуплоскости строим угол, равный данному углу ∠(hk). Пусть второй луч этого угла будет `q`.
4. Определение вершины C. Точка C является пересечением лучей `p` и `q`. Построение возможно, если сумма углов ∠ABC + ∠BAC < 180°, то есть ∠(hk) + $\frac{1}{4}$∠(hk) < 180°, что означает $\frac{5}{4}$∠(hk) < 180°, или ∠(hk) < 144°.

Доказательство:

В построенном треугольнике ABC сторона AB = PQ, ∠BAC = $\frac{1}{4}$∠(hk) и ∠ABC = ∠(hk) по построению. Следовательно, треугольник ABC является искомым.

Ответ: Треугольник ABC, построенный по вышеописанному алгоритму, удовлетворяет всем заданным условиям.