Номер 4.33, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.33. Даны точки $A$ и $B$. Что представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от точек $A$ и $B$?

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих определенному свойству. В данной задаче свойство заключается в том, что каждая точка искомого множества, назовем ее $M$, должна быть равноудалена от двух заданных точек $A$ и $B$. Это означает, что для любой такой точки $M$ должно выполняться равенство длин отрезков: $MA = MB$.

Рассмотрим любую точку $M$, которая удовлетворяет этому условию. Соединим точки $A$, $B$ и $M$. Если эти три точки не лежат на одной прямой, они образуют треугольник $\triangle AMB$. Поскольку по условию две его стороны равны ($MA = MB$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Одним из ключевых свойств равнобедренного треугольника является то, что медиана, проведенная к его основанию, одновременно является и высотой, и биссектрисой. Проведем из вершины $M$ медиану к середине отрезка $AB$. Обозначим середину отрезка $AB$ буквой $C$. Тогда отрезок $MC$ является медианой и, следовательно, высотой треугольника $\triangle AMB$. Это означает, что $MC$ перпендикулярен $AB$ ($MC \perp AB$).

Таким образом, любая точка $M$, равноудаленная от точек $A$ и $B$, должна лежать на прямой, которая проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему. Такая прямая имеет специальное название — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Справедливо и обратное утверждение: любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка. Чтобы это доказать, возьмем произвольную точку $M$ на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Пусть $C$ — середина $AB$. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$. У них общий катет $MC$, а катеты $AC$ и $BC$ равны, так как $C$ — середина $AB$. По двум катетам, $\triangle AMC = \triangle BMC$. Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $MA = MB$.

В зависимости от того, рассматривается ли задача на плоскости или в пространстве, ответ будет немного отличаться:

1. На плоскости: Геометрическое место точек, равноудаленных от $A$ и $B$, — это прямая, а именно серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

2. В пространстве: Геометрическое место точек, равноудаленных от $A$ и $B$, — это плоскость, которая перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину.

Поскольку в школьном курсе геометрии без дополнительных уточнений задача обычно подразумевает рассмотрение на плоскости, основным ответом является серединный перпендикуляр.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от точек A и B, — это серединный перпендикуляр к отрезку AB. (В пространстве — это плоскость, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему).