Номер 4.29, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.29. Как разделить пополам дугу окружности, если центр этой окружности не указан?

Для того чтобы разделить дугу окружности пополам, не зная ее центра, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку:

1. Пусть концами данной дуги являются точки $A$ и $B$. Соединим эти точки прямым отрезком, получив хорду $AB$.
2. Построим серединный перпендикуляр к хорде $AB$. Для этого:
   • Установим раствор циркуля на расстояние, которое очевидно больше половины длины хорды $AB$.
   • Из точки $A$ как из центра проведём дугу окружности с одной стороны от хорды и с другой.
   • Не меняя раствора циркуля, из точки $B$ как из центра проведём другую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках (назовём их $P_1$ и $P_2$).
   • С помощью линейки проведём прямую через точки пересечения $P_1$ и $P_2$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к хорде $AB$.
3. Точка пересечения построенного серединного перпендикуляра с исходной дугой $\frown{AB}$ и будет её серединой. Обозначим эту точку $M$.

Это построение является верным по следующей причине. Пусть $M$ — точка пересечения серединного перпендикуляра с дугой $\frown{AB}$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка ($A$ и $B$). Следовательно, длины отрезков (хорд) $MA$ и $MB$ равны. В одной и той же окружности равные хорды стягивают равные дуги. Таким образом, дуга $\frown{AM}$ равна дуге $\frown{BM}$, а это и означает, что точка $M$ является серединой дуги $\frown{AB}$.

Ответ: Необходимо соединить концы дуги хордой и построить к этой хорде серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с дугой разделит её пополам.