Номер 4.23, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.23. Как построить к окружности касательную:

1) параллельно данной прямой;

2) перпендикулярно данной прямой?

1) параллельно данной прямой

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и прямая $l$. Задача состоит в том, чтобы построить касательную $t$ к окружности, такую что $t \parallel l$.

Известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Если искомая касательная $t$ параллельна прямой $l$, то радиус, проведенный в точку касания, должен быть перпендикулярен как прямой $l$, так и касательной $t$. На этом свойстве и основано построение.

Алгоритм построения:

1. Из центра окружности $O$ проводим прямую $n$, перпендикулярную данной прямой $l$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив перпендикуляр из точки к прямой.
2. Прямая $n$ пересечет окружность в двух точках. Назовем их $A$ и $B$. Эти точки и будут точками касания.
3. Через точку $A$ проводим прямую $t_1$, перпендикулярную радиусу $OA$ (то есть прямой $n$).
4. Через точку $B$ проводим прямую $t_2$, перпендикулярную радиусу $OB$ (то есть прямой $n$).

По построению прямые $t_1$ и $t_2$ являются касательными к окружности в точках $A$ и $B$ соответственно. Так как обе эти прямые перпендикулярны одной и той же прямой $n$, а прямая $n$ в свою очередь перпендикулярна $l$, то $t_1 \parallel l$ и $t_2 \parallel l$. Таким образом, задача, как правило, имеет два решения.

Ответ: Необходимо провести из центра окружности прямую, перпендикулярную данной прямой. Точки пересечения этой прямой с окружностью будут точками касания. Через эти точки следует провести прямые, параллельные данной прямой (что эквивалентно проведению прямых, перпендикулярных построенному диаметру).

2) перпендикулярно данной прямой

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и прямая $m$. Задача состоит в том, чтобы построить касательную $t$ к окружности, такую что $t \perp m$.

Касательная $t$ в точке касания $K$ перпендикулярна радиусу $OK$. Если мы хотим, чтобы касательная $t$ была перпендикулярна прямой $m$, то радиус $OK$ должен быть параллелен прямой $m$.

Алгоритм построения:

1. Из центра окружности $O$ проводим прямую $p$, параллельную данной прямой $m$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки.
2. Прямая $p$ пересечет окружность в двух точках. Назовем их $C$ и $D$.
3. Через точку $C$ проводим прямую $t_1$, перпендикулярную радиусу $OC$ (то есть прямой $p$).
4. Через точку $D$ проводим прямую $t_2$, перпендикулярную радиусу $OD$ (то есть прямой $p$).

Прямые $t_1$ и $t_2$ являются касательными к окружности в точках $C$ и $D$. Поскольку они перпендикулярны прямой $p$, а прямая $p$ по построению параллельна прямой $m$, то $t_1 \perp m$ и $t_2 \perp m$. Задача также имеет два решения.

Ответ: Необходимо провести из центра окружности прямую, параллельную данной прямой. Точки пересечения этой прямой с окружностью будут точками касания. Через эти точки следует провести прямые, перпендикулярные данной прямой (что эквивалентно проведению прямых, перпендикулярных построенному диаметру).