Номер 4.18, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.18. Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают.

Для доказательства данного утверждения необходимо вспомнить определения центров вписанной и описанной окружностей, а также ключевые свойства равностороннего треугольника.

Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Эта точка равноудалена от всех его сторон.

Центр описанной окружности (центр описанной окружности) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Эта точка равноудалена от всех его вершин.

Рассмотрим равносторонний треугольник $\triangle ABC$. В таком треугольнике все стороны равны между собой, и все углы равны $60^\circ$.

В равностороннем треугольнике каждая биссектриса, проведенная из какой-либо вершины, является одновременно и медианой, и высотой, и серединным перпендикуляром к противолежащей стороне.

Докажем это. Пусть $AM$ — биссектриса угла $\angle A$. Тогда треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$ равны по двум сторонам и углу между ними:

• $AB = AC$ (по определению равностороннего треугольника).
• $AM$ — общая сторона.
• $\angle BAM = \angle CAM$ (так как $AM$ — биссектриса).

Из равенства треугольников следует, что $BM = CM$ и $\angle AMB = \angle AMC$.

1. Равенство $BM = CM$ означает, что точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, биссектриса $AM$ является также медианой.

2. Углы $\angle AMB$ и $\angle AMC$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Так как они равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что $AM \perp BC$. Следовательно, биссектриса $AM$ является также высотой.

3. Так как $AM$ проходит через середину стороны $BC$ (точка $M$) и перпендикулярна ей, то прямая, содержащая $AM$, является серединным перпендикуляром к стороне $BC$.

Таким образом, в равностороннем треугольнике биссектрисы углов и серединные перпендикуляры к сторонам лежат на одних и тех же прямых.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. Центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров. Поскольку в равностороннем треугольнике эти множества линий совпадают, то и точка их пересечения является одной и той же. Следовательно, центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Что и требовалось доказать.

Ответ: В равностороннем треугольнике биссектрисы углов также являются и медианами, и высотами, и серединными перпендикулярами к сторонам. Центр вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров. Так как в равностороннем треугольнике эти линии совпадают, то и их точка пересечения (центры окружностей) совпадает.