Номер 4.15, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.15. Радиусы двух окружностей равны 3 см и 4 см, а расстояние между их центрами равно 5 см. Имеют ли эти окружности общие точки?

Для того чтобы определить, имеют ли две окружности общие точки, необходимо сравнить расстояние между их центрами ($d$) с суммой и модулем разности их радиусов ($r_1$ и $r_2$).

По условию задачи даны:

• Радиус первой окружности: $r_1 = 3$ см.
• Радиус второй окружности: $r_2 = 4$ см.
• Расстояние между центрами: $d = 5$ см.

Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами больше модуля разности их радиусов, но меньше их суммы. Это условие выражается двойным неравенством: $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$.

Выполним проверку этого условия для заданных значений.Сначала найдем сумму и модуль разности радиусов:

• Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 3 + 4 = 7$ см.
• Модуль разности радиусов: $|r_1 - r_2| = |3 - 4| = |-1| = 1$ см.

Теперь подставим полученные значения и расстояние между центрами в неравенство:$1 \text{ см} < 5 \text{ см} < 7 \text{ см}$.

Данное неравенство является верным, следовательно, условие пересечения окружностей выполняется. Это означает, что окружности имеют две общие точки.

Интересным фактом является то, что для данных длин выполняется теорема Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Это значит, что треугольник, образованный центрами окружностей и одной из точек их пересечения, является прямоугольным. Этот факт также подтверждает, что окружности пересекаются.

Ответ: да, эти окружности имеют две общие точки.