Номер 4.9, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.9. Как расположены две окружности $\omega(O_1; r_1)$ и $\omega(O_2; r_2)$, у которых:

1) $r_1 = 6$ см, $r_2 = 15$ см, $O_1O_2 = 21$ см;

2) $r_1 = 12$ см, $r_2 = 14$ см, $O_1O_2 = 8$ см;

3) $r_1 = 6$ см, $r_2 = 5$ см, $O_1O_2 = 18$ см?

Для определения взаимного расположения двух окружностей необходимо сравнить расстояние между их центрами $d = O_1O_2$ с суммой $r_1 + r_2$ и разностью $|r_1 - r_2|$ их радиусов.

• Если $d > r_1 + r_2$, окружности лежат одна вне другой и не имеют общих точек.
• Если $d = r_1 + r_2$, окружности касаются внешним образом (одна общая точка).
• Если $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$, окружности пересекаются в двух точках.
• Если $d = |r_1 - r_2|$, окружности касаются внутренним образом (одна общая точка).
• Если $d < |r_1 - r_2|$, одна окружность лежит внутри другой и они не имеют общих точек.

1) Дано: $r_1 = 6$ см, $r_2 = 15$ см, $O_1O_2 = 21$ см.

Найдем сумму и разность радиусов:

Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 6 + 15 = 21$ см.

Разность радиусов: $|r_1 - r_2| = |6 - 15| = 9$ см.

Сравним расстояние между центрами $d = O_1O_2$ с полученными значениями. Видим, что расстояние между центрами равно сумме радиусов: $d = r_1 + r_2$ ($21 = 21$). Следовательно, окружности касаются внешним образом.

Ответ: окружности касаются внешним образом.

2) Дано: $r_1 = 12$ см, $r_2 = 14$ см, $O_1O_2 = 8$ см.

Найдем сумму и разность радиусов:

Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 12 + 14 = 26$ см.

Разность радиусов: $|r_1 - r_2| = |12 - 14| = 2$ см.

Сравним расстояние между центрами $d = O_1O_2$ с полученными значениями. В данном случае выполняется неравенство $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$, так как $2 < 8 < 26$. Следовательно, окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: окружности пересекаются в двух точках.

3) Дано: $r_1 = 6$ см, $r_2 = 5$ см, $O_1O_2 = 18$ см.

Найдем сумму и разность радиусов:

Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 6 + 5 = 11$ см.

Разность радиусов: $|r_1 - r_2| = |6 - 5| = 1$ см.

Сравним расстояние между центрами $d = O_1O_2$ с полученными значениями. В данном случае расстояние между центрами больше суммы радиусов: $d > r_1 + r_2$, так как $18 > 11$. Следовательно, окружности лежат одна вне другой и не имеют общих точек.

Ответ: окружности не пересекаются и лежат одна вне другой.