Номер 4.2, страница 59 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.2. Докажите, что хорда окружности, не проходящая через центр, меньше диаметра.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Пусть $AB$ — хорда данной окружности, которая по условию не проходит через центр $O$. Концы хорды, точки $A$ и $B$, лежат на окружности. Соединим центр окружности $O$ с точками $A$ и $B$. Полученные отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому их длины равны $R$:

$OA = R$ и $OB = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Его сторонами являются два радиуса $OA$, $OB$ и хорда $AB$. Так как хорда $AB$ не проходит через центр $O$, точки $A$, $O$ и $B$ не лежат на одной прямой (не коллинеарны), а значит, они действительно образуют треугольник.

Воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Применительно к стороне $AB$ треугольника $\triangle AOB$, это неравенство записывается так:

$AB < OA + OB$

Подставим в это неравенство длины радиусов:

$AB < R + R$

$AB < 2R$

Диаметр окружности $D$ по определению равен двум радиусам, то есть $D = 2R$.

Следовательно, мы получаем, что длина хорды $AB$ меньше диаметра $D$:

$AB < D$

Таким образом, доказано, что любая хорда окружности, не проходящая через ее центр, меньше диаметра. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Хорда, не проходящая через центр, и два радиуса, проведенные к ее концам, образуют треугольник. По неравенству треугольника, длина хорды ($AB$) меньше суммы длин двух других сторон (двух радиусов, $R+R$). Так как сумма двух радиусов равна диаметру ($D=2R$), то хорда меньше диаметра ($AB < D$).