Номер 4.8, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.8. Может ли окружность касаться прямой в двух точках?

Нет, окружность не может касаться прямой в двух точках. Разберем почему, используя метод доказательства от противного.

По определению, касание окружности и прямой — это случай, когда они имеют ровно одну общую точку, называемую точкой касания. Если прямая и окружность имеют две общие точки, то такая прямая называется секущей.

Доказательство:

Предположим, что окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$ всё-таки касается некоторой прямой $l$ в двух различных точках $A$ и $B$.

Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на окружности, расстояния от центра $O$ до этих точек равны радиусу: $OA = OB = r$.

Из свойства касательной известно, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, если бы касание происходило в точках $A$ и $B$, то радиусы $OA$ и $OB$ были бы перпендикулярны прямой $l$. То есть, мы имели бы $OA \perp l$ и $OB \perp l$.

Таким образом, из одной точки $O$, не лежащей на прямой $l$, к этой прямой были бы проведены два различных перпендикуляра ($OA$ и $OB$, так как $A$ и $B$ — разные точки).

Однако, согласно основной аксиоме евклидовой геометрии, из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, окружность не может касаться прямой в двух различных точках.

Ответ: Нет, не может.