Номер 4.12, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.12. Через точку $A$, не лежащую на окружности, к этой окружности проведите касательные $AB$ и $AC$. Точки $B$ и $C$ – точки касания. Докажите, что $AB = AC$.

Для доказательства равенства отрезков касательных $AB$ и $AC$ рассмотрим треугольники, образованные этими отрезками, центром окружности и точками касания.

1. Пусть $O$ — центр окружности. Проведем отрезки $OA$, $OB$ и $OC$. В результате мы получим два треугольника: $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$.

2. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, отрезок $OB$ перпендикулярен касательной $AB$, а отрезок $OC$ перпендикулярен касательной $AC$. Это означает, что углы $\angle OBA$ и $\angle OCA$ являются прямыми, то есть $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ являются прямоугольными.

3. Рассмотрим эти прямоугольные треугольники.

- Сторона $OA$ является общей для обоих треугольников (общая гипотенуза).

- Стороны $OB$ и $OC$ равны между собой, так как обе являются радиусами одной и той же окружности ($OB = OC = r$).

4. Так как прямоугольные треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ имеют общую гипотенузу и равные катеты, они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

5. Из равенства треугольников ($\triangle OAB \cong \triangle OAC$) следует равенство их соответствующих сторон. Катет $AB$ треугольника $\triangle OAB$ соответствует катету $AC$ треугольника $\triangle OAC$. Следовательно, $AB = AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков касательных $AB$ и $AC$, проведенных из одной точки $A$ к окружности, доказано.