Номер 4.17, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.17. Окружности с центрами $O$ и $O_1$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Каждая из этих окружностей проходит через центр другой. Найдите углы $AOB$ и $OAO_1$.

Пусть радиус окружности с центром в точке $O$ равен $R$, а радиус окружности с центром в точке $O_1$ равен $R_1$.

По условию, окружность с центром $O$ проходит через центр $O_1$. Это означает, что расстояние между центрами $OO_1$ равно радиусу первой окружности: $OO_1 = R$.

Также по условию, окружность с центром $O_1$ проходит через центр $O$. Это означает, что расстояние между центрами $OO_1$ равно радиусу второй окружности: $OO_1 = R_1$.

Следовательно, радиусы окружностей равны между собой и равны расстоянию между их центрами: $R = R_1 = OO_1$. Обозначим эту величину как $r$.

Точка $A$ лежит на обеих окружностях. Так как $A$ лежит на окружности с центром $O$, то отрезок $OA$ является радиусом этой окружности, то есть $OA = r$. Так как $A$ лежит на окружности с центром $O_1$, то отрезок $O_1A$ является радиусом второй окружности, то есть $O_1A = r$. Аналогично для точки $B$: $OB = r$ и $O_1B = r$.

Найдите угол AOB

Рассмотрим треугольник $\triangle AOO_1$. Мы установили, что все его стороны равны $r$: $OA = O_1A = OO_1 = r$. Следовательно, треугольник $\triangle AOO_1$ является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$, поэтому $\angle AOO_1 = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BOO_1$. Аналогично, все его стороны равны $r$: $OB = O_1B = OO_1 = r$. Следовательно, треугольник $\triangle BOO_1$ также является равносторонним. Поэтому $\angle BOO_1 = 60^\circ$.

Угол $\angle AOB$ состоит из двух углов: $\angle AOO_1$ и $\angle BOO_1$. Таким образом, $\angle AOB = \angle AOO_1 + \angle BOO_1 = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

Найдите угол OAO₁

Как мы уже выяснили при нахождении первого угла, треугольник $\triangle AOO_1$ является равносторонним, так как все его стороны равны: $OA = O_1A = OO_1 = r$.

Угол $\angle OAO_1$ является одним из внутренних углов этого равностороннего треугольника. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$