Номер 4.21, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.21. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от центра.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ и $CD$ — две равные хорды этой окружности, то есть $AB = CD$.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из центра $O$ перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$. Таким образом, $OH$ — это расстояние от центра до хорды $AB$, а $OK$ — расстояние от центра до хорды $CD$. Нам нужно доказать, что $OH = OK$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OCD$. Так как $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ — радиусы окружности, то $OA = OB = OC = OD$. Следовательно, треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OCD$ являются равнобедренными.

Поскольку $OH$ является высотой в равнобедренном треугольнике $\triangle OAB$, проведенной к основанию, то $OH$ также является и медианой. Это означает, что точка $H$ — середина хорды $AB$, и $AH = HB = \frac{1}{2}AB$.

Аналогично, $OK$ является высотой и медианой в равнобедренном треугольнике $\triangle OCD$. Следовательно, точка $K$ — середина хорды $CD$, и $CK = KD = \frac{1}{2}CD$.

По условию $AB = CD$, значит, и их половины равны: $AH = CK$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ (они прямоугольные по построению, так как $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$).

В этих треугольниках:

1. $OA = OC$ как радиусы одной окружности (это гипотенузы).

2. $AH = CK$ как половины равных хорд (это катеты).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их катеты: $OH = OK$.

Таким образом, мы доказали, что расстояния от центра окружности до равных хорд равны, то есть равные хорды равноудалены от центра.

Ответ: Утверждение доказано.