Номер 4.25, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.25. Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ и $B$ — две точки на окружности, такие что длина хорды $AB$ равна радиусу, то есть $AB = R$. В точках $A$ и $B$ к окружности проведены касательные, которые пересекаются в точке $C$. Требуется найти углы, под которыми пересекаются эти касательные.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Его стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = R$ и $OB = R$. По условию, хорда $AB$ также равна радиусу: $AB = R$. Таким образом, треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним, так как все его стороны равны ($OA = OB = AB = R$).

2. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, центральный угол, опирающийся на хорду $AB$, равен $\angle AOB = 60^\circ$.

3. Теперь рассмотрим четырехугольник $OACB$, образованный центром окружности $O$, точками касания $A$ и $B$, и точкой пересечения касательных $C$.

4. Используем свойство касательной: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

• Касательная $AC$ перпендикулярна радиусу $OA$, значит, $\angle OAC = 90^\circ$.
• Касательная $BC$ перпендикулярна радиусу $OB$, значит, $\angle OBC = 90^\circ$.

5. Сумма углов в любом выпуклом четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника $OACB$ запишем: $\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360^\circ$.

6. Подставим известные значения углов в это равенство: $60^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle ACB = 360^\circ$.

7. Упростим выражение: $240^\circ + \angle ACB = 360^\circ$.

8. Отсюда находим угол $\angle ACB$: $\angle ACB = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$.

При пересечении двух прямых образуются две пары смежных углов. Один из углов, как мы нашли, равен $120^\circ$. Смежный с ним угол будет равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, касательные пересекаются под углами $60^\circ$ и $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ$ и $120^\circ$.