Номер 4.22, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.22. Докажите, что если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды этой окружности.

Расстоянием от центра окружности до хорды является длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведем перпендикуляры $OH$ из центра $O$ к хорде $AB$ и $OK$ из центра $O$ к хорде $CD$. По условию задачи, хорды равноудалены от центра, это означает, что длины этих перпендикуляров равны: $OH = OK$.

Соединим центр окружности $O$ с точками $A$ и $C$. Отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами данной окружности, поэтому они равны между собой: $OA = OC = R$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$.

По построению $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$, следовательно, треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ являются прямоугольными. В этих треугольниках:

1. Гипотенузы равны: $OA = OC$ (как радиусы одной окружности).

2. Катеты равны: $OH = OK$ (по условию задачи).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В нашем случае, катет $AH$ треугольника $\triangle OHA$ равен катету $CK$ треугольника $\triangle OKC$: $AH = CK$.

Согласно свойству хорды, перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Таким образом, точка $H$ является серединой хорды $AB$, а точка $K$ — серединой хорды $CD$. Это можно записать как:

$AB = 2 \cdot AH$

$CD = 2 \cdot CK$

Поскольку мы ранее доказали, что $AH = CK$, то и их удвоенные значения равны: $2 \cdot AH = 2 \cdot CK$.

Из этого следует, что $AB = CD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.