Номер 4.24, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.24. Какие углы образует хорда $AB$, равная радиусу окружности, с касательной в точке $A$?

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Проведем хорду $AB$. По условию задачи, длина хорды $AB$ равна радиусу окружности, то есть $AB = R$.

Соединим центр окружности $O$ с концами хорды, точками $A$ и $B$. Получим отрезки $OA$ и $OB$, которые являются радиусами окружности, следовательно, $OA = R$ и $OB = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Все его стороны равны между собой: $OA = OB = AB = R$. Это означает, что треугольник $\triangle AOB$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^{\circ}$. Следовательно, угол $\angle OAB = 60^{\circ}$.

Теперь проведем касательную к окружности в точке $A$. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, радиус $OA$ перпендикулярен касательной в точке $A$, и угол между ними составляет $90^{\circ}$.

Хорда $AB$ и касательная в точке $A$ образуют два угла. Один из этих углов (острый) можно найти как разность между прямым углом, образованным радиусом $OA$ и касательной, и углом $\angle OAB$:

Угол 1 $= 90^{\circ} - \angle OAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Второй угол, который хорда $AB$ образует с касательной, является смежным по отношению к прямой, которую представляет касательная. Его величина равна:

Угол 2 $= 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.

Таким образом, хорда $AB$ образует с касательной в точке $A$ углы $30^{\circ}$ и $150^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$ и $150^{\circ}$.