Номер 4.30, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.30. 1) Точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, а точка $O$ – вне этой прямой. Могут ли треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ с основаниями $AB$ и $BC$ быть равнобедренными? Обоснуйте ответ.

2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?

1) Предположим, что треугольники $AOB$ и $BOC$ являются равнобедренными с основаниями $AB$ и $BC$ соответственно.

Если треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$, то его боковые стороны равны, то есть $OA = OB$. Аналогично, если треугольник $BOC$ равнобедренный с основанием $BC$, то его боковые стороны равны, то есть $OB = OC$.

Из этих двух равенств следует, что $OA = OB = OC$. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии от точки $O$.

По определению, все точки плоскости, равноудаленные от одной данной точки (центра), лежат на окружности. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ должны лежать на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$.

Однако по условию задачи точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Три различные точки не могут одновременно принадлежать и прямой, и окружности, так как прямая может пересекать окружность не более чем в двух точках.

Таким образом, мы приходим к противоречию, которое означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: нет, не могут.

2) Нет, окружность и прямая не могут пересекаться более чем в двух точках. Обоснуем это утверждение методом от противного.

Предположим, что некоторая прямая $l$ и окружность имеют три общие точки: $A$, $B$ и $C$.

Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности, они равноудалены от её центра $O$. То есть, $OA = OB = OC = R$, где $R$ — радиус окружности.

Условие $OA = OB$ означает, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Аналогично, условие $OB = OC$ означает, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$.

Так как по нашему предположению точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой $l$, то отрезки $AB$ и $BC$ также лежат на этой прямой. Серединные перпендикуляры к двум различным отрезкам, лежащим на одной прямой, являются двумя различными параллельными прямыми (поскольку оба перпендикулярны прямой $l$).

Таким образом, центр окружности $O$ должен быть точкой пересечения этих двух параллельных прямых. Но, как известно, параллельные прямые не пересекаются. Мы получили противоречие.

Следовательно, наше предположение о существовании трех общих точек у прямой и окружности неверно.

Ответ: нет, не могут.