Вопросы, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как построить угол, равный данному углу?

2. Как построить биссектрису данного угла?

3. Как разделить отрезок пополам?

4. Как провести перпендикуляр к заданной прямой, проходящий через заданную точку?

5. Как построить треугольник по трем элементам:

а) по двум сторонам и углу между ними;

б) по трем сторонам;

в) по стороне и двум прилежащим углам?

6. Что такое задача на построение? В чем суть анализа, построения, доказательства и исследования?

1. Как построить угол, равный данному углу?

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и луч $O'M$. Требуется построить угол с вершиной $O'$, равный данному, одной из сторон которого является луч $O'M$.

1. Проведем окружность произвольного радиуса $r$ с центром в вершине данного угла $O$. Точки пересечения этой окружности со сторонами угла обозначим $A$ и $B$.
2. Проведем окружность того же радиуса $r$ с центром в точке $O'$. Она пересечет луч $O'M$ в некоторой точке, которую мы обозначим $A'$.
3. Измерим циркулем расстояние между точками $A$ и $B$.
4. Проведем окружность с центром в точке $A'$ и радиусом, равным расстоянию $AB$.
5. Точка пересечения двух построенных окружностей (из шагов 2 и 4) будет второй точкой искомого угла. Обозначим ее $B'$.
6. Проведем луч $O'B'$.

Построенный угол $\angle A'O'B'$ равен данному углу $\angle AOB$, так как треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'O'B'$ равны по трем сторонам ($OA = O'A'$, $OB = O'B'$ как радиусы одной окружности, $AB = A'B'$ по построению).

Ответ: Построение выполняется путем копирования треугольника, образованного вершиной и двумя точками на сторонах угла, с помощью циркуля и линейки.

2. Как построить биссектрису данного угла?

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$.

1. Из вершины угла $O$ проведем окружность произвольного радиуса. Она пересечет стороны угла в двух точках, назовем их $A$ и $B$.
2. Из точек $A$ и $B$ проведем две окружности одинакового (произвольного, но достаточного для пересечения) радиуса.
3. Точку пересечения этих окружностей, лежащую внутри угла, обозначим $C$.
4. Проведем луч $OC$.

Луч $OC$ является биссектрисой угла $\angle AOB$. Это следует из равенства треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$ по трем сторонам ($OA = OB$ как радиусы первой окружности, $AC = BC$ как радиусы равных окружностей, $OC$ — общая сторона).

Ответ: Биссектриса строится путем нахождения точки, равноудаленной от сторон угла, что достигается с помощью построения двух пересекающихся окружностей с центрами на сторонах угла.

3. Как разделить отрезок пополам?

Пусть дан отрезок $AB$.

1. Из точки $A$ проведем окружность радиусом $R$, большим половины длины отрезка $AB$.
2. Из точки $B$ проведем окружность тем же радиусом $R$.
3. Окружности пересекутся в двух точках, назовем их $C$ и $D$.
4. Проведем прямую через точки $C$ и $D$.

Точка пересечения прямой $CD$ и отрезка $AB$ является его серединой. Прямая $CD$ также является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Ответ: Для деления отрезка пополам необходимо построить его серединный перпендикуляр, проведя две пересекающиеся окружности одинакового радиуса (большего половины отрезка) с центрами в концах отрезка.

4. Как провести перпендикуляр к заданной прямой, проходящий через заданную точку?

Существует два случая в зависимости от положения точки.

Случай 1: Точка $P$ лежит на прямой $a$.

1. С центром в точке $P$ проведем окружность произвольного радиуса, которая пересечет прямую $a$ в двух точках, $A$ и $B$.
2. Из точек $A$ и $B$ проведем две окружности одинакового радиуса, большего, чем радиус первой окружности.
3. Точки пересечения этих окружностей обозначим $C$ и $D$.
4. Проведем прямую через точки $C$ и $D$. Эта прямая пройдет через точку $P$ и будет перпендикулярна прямой $a$.

Случай 2: Точка $P$ не лежит на прямой $a$.

1. С центром в точке $P$ проведем окружность такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $a$ в двух точках. Обозначим эти точки $A$ и $B$.
2. Из точек $A$ и $B$ проведем две окружности одинакового радиуса (можно взять радиус, равный $PA = PB$).
3. Вторая точка пересечения этих окружностей (отличная от $P$) будет лежать на искомом перпендикуляре. Обозначим ее $Q$.
4. Проведем прямую через точки $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ перпендикулярна прямой $a$.

Ответ: В обоих случаях построение сводится к нахождению двух точек, равноудаленных от двух точек на исходной прямой, и проведению через них прямой, которая и будет искомым перпендикуляром.

5. Как построить треугольник по трем элементам:

а) по двум сторонам и углу между ними;

Пусть даны отрезки $a$, $b$ и угол $\gamma$.

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $CB$, равный данному отрезку $a$.
2. От луча $CB$ в заданной полуплоскости откладываем угол, равный данному углу $\gamma$, с вершиной в точке $C$. Получим луч $CM$.
3. На луче $CM$ откладываем отрезок $CA$, равный данному отрезку $b$.
4. Соединяем точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Построение основано на последовательном откладывании одной стороны, затем угла от одного из ее концов, и затем второй стороны вдоль построенного луча.

б) по трем сторонам;

Пусть даны три отрезка $a, b, c$, удовлетворяющие неравенству треугольника ($a+b>c, a+c>b, b+c>a$).

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $BC$, равный одному из данных отрезков, например, $a$.
2. Из точки $B$ как из центра проводим окружность радиусом, равным отрезку $c$.
3. Из точки $C$ как из центра проводим окружность радиусом, равным отрезку $b$.
4. Точку пересечения этих двух окружностей обозначаем $A$.
5. Соединяем точку $A$ с точками $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Построение заключается в фиксации одной стороны и нахождении третьей вершины как точки пересечения двух окружностей, радиусы которых равны двум другим сторонам, а центры находятся в концах первого отрезка.

в) по стороне и двум прилежащим углам?

Пусть дан отрезок $c$ и два угла $\alpha$ и $\beta$, таких что их сумма меньше $180^\circ$.

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AB$, равный данному отрезку $c$.
2. От луча $AB$ в одной полуплоскости строим угол, равный $\alpha$, с вершиной в точке $A$. Получим луч $AM$.
3. От луча $BA$ в той же полуплоскости строим угол, равный $\beta$, с вершиной в точке $B$. Получим луч $BK$.
4. Точку пересечения лучей $AM$ и $BK$ обозначаем $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Построение выполняется путем откладывания данной стороны и последующего построения двух данных углов при ее концах. Третья вершина находится на пересечении построенных лучей.

6. Что такое задача на построение? В чем суть анализа, построения, доказательства и исследования?

Задача на построение — это задача, в которой требуется построить геометрическую фигуру, обладающую заданными свойствами, с помощью определенного набора инструментов. В классической геометрии этими инструментами являются циркуль (позволяет проводить окружности) и линейка без делений (позволяет проводить прямые линии).

Решение задачи на построение традиционно состоит из четырех этапов:

1. Анализ: Это подготовительный этап, на котором мы предполагаем, что искомая фигура уже построена. Затем мы изучаем свойства этой фигуры и связи между ее элементами и данными из условия задачи. Цель анализа — найти последовательность действий, которая приведет к построению искомой фигуры. Часто анализ сводится к поиску геометрического места точек (ГМТ), удовлетворяющих определенным условиям. Искомая точка или линия находится на пересечении таких ГМТ.
2. Построение: На этом этапе, на основе выводов, сделанных в ходе анализа, выполняется сама последовательность построений с помощью циркуля и линейки. Этот этап представляет собой четкий алгоритм, описание шагов, которые необходимо выполнить.
3. Доказательство: После того как фигура построена, необходимо доказать, что она действительно удовлетворяет всем условиям задачи. В доказательстве используются аксиомы, определения и теоремы геометрии для обоснования того, что построенный объект является именно тем, что требовалось.
4. Исследование: На этом заключительном этапе определяется, при каких условиях задача имеет решение и сколько решений она может иметь. Анализируются все шаги построения на предмет их выполнимости. Например, выясняется, всегда ли пересекаются построенные линии или окружности, и как это зависит от исходных данных. Исследование определяет область допустимых значений исходных данных и количество возможных решений (одно, два, бесконечно много или ни одного).

Ответ: Задача на построение — это создание фигуры с помощью циркуля и линейки. Ее решение включает анализ (поиск пути решения), построение (выполнение алгоритма), доказательство (проверка правильности) и исследование (определение условий и количества решений).