Страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как построить угол, равный данному углу?

2. Как построить биссектрису данного угла?

3. Как разделить отрезок пополам?

4. Как провести перпендикуляр к заданной прямой, проходящий через заданную точку?

5. Как построить треугольник по трем элементам:

а) по двум сторонам и углу между ними;

б) по трем сторонам;

в) по стороне и двум прилежащим углам?

6. Что такое задача на построение? В чем суть анализа, построения, доказательства и исследования?

1. Как построить угол, равный данному углу?

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и луч $O'M$. Требуется построить угол с вершиной $O'$, равный данному, одной из сторон которого является луч $O'M$.

1. Проведем окружность произвольного радиуса $r$ с центром в вершине данного угла $O$. Точки пересечения этой окружности со сторонами угла обозначим $A$ и $B$.
2. Проведем окружность того же радиуса $r$ с центром в точке $O'$. Она пересечет луч $O'M$ в некоторой точке, которую мы обозначим $A'$.
3. Измерим циркулем расстояние между точками $A$ и $B$.
4. Проведем окружность с центром в точке $A'$ и радиусом, равным расстоянию $AB$.
5. Точка пересечения двух построенных окружностей (из шагов 2 и 4) будет второй точкой искомого угла. Обозначим ее $B'$.
6. Проведем луч $O'B'$.

Построенный угол $\angle A'O'B'$ равен данному углу $\angle AOB$, так как треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'O'B'$ равны по трем сторонам ($OA = O'A'$, $OB = O'B'$ как радиусы одной окружности, $AB = A'B'$ по построению).

Ответ: Построение выполняется путем копирования треугольника, образованного вершиной и двумя точками на сторонах угла, с помощью циркуля и линейки.

2. Как построить биссектрису данного угла?

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$.

1. Из вершины угла $O$ проведем окружность произвольного радиуса. Она пересечет стороны угла в двух точках, назовем их $A$ и $B$.
2. Из точек $A$ и $B$ проведем две окружности одинакового (произвольного, но достаточного для пересечения) радиуса.
3. Точку пересечения этих окружностей, лежащую внутри угла, обозначим $C$.
4. Проведем луч $OC$.

Луч $OC$ является биссектрисой угла $\angle AOB$. Это следует из равенства треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$ по трем сторонам ($OA = OB$ как радиусы первой окружности, $AC = BC$ как радиусы равных окружностей, $OC$ — общая сторона).

Ответ: Биссектриса строится путем нахождения точки, равноудаленной от сторон угла, что достигается с помощью построения двух пересекающихся окружностей с центрами на сторонах угла.

3. Как разделить отрезок пополам?

Пусть дан отрезок $AB$.

1. Из точки $A$ проведем окружность радиусом $R$, большим половины длины отрезка $AB$.
2. Из точки $B$ проведем окружность тем же радиусом $R$.
3. Окружности пересекутся в двух точках, назовем их $C$ и $D$.
4. Проведем прямую через точки $C$ и $D$.

Точка пересечения прямой $CD$ и отрезка $AB$ является его серединой. Прямая $CD$ также является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Ответ: Для деления отрезка пополам необходимо построить его серединный перпендикуляр, проведя две пересекающиеся окружности одинакового радиуса (большего половины отрезка) с центрами в концах отрезка.

4. Как провести перпендикуляр к заданной прямой, проходящий через заданную точку?

Существует два случая в зависимости от положения точки.

Случай 1: Точка $P$ лежит на прямой $a$.

1. С центром в точке $P$ проведем окружность произвольного радиуса, которая пересечет прямую $a$ в двух точках, $A$ и $B$.
2. Из точек $A$ и $B$ проведем две окружности одинакового радиуса, большего, чем радиус первой окружности.
3. Точки пересечения этих окружностей обозначим $C$ и $D$.
4. Проведем прямую через точки $C$ и $D$. Эта прямая пройдет через точку $P$ и будет перпендикулярна прямой $a$.

Случай 2: Точка $P$ не лежит на прямой $a$.

1. С центром в точке $P$ проведем окружность такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $a$ в двух точках. Обозначим эти точки $A$ и $B$.
2. Из точек $A$ и $B$ проведем две окружности одинакового радиуса (можно взять радиус, равный $PA = PB$).
3. Вторая точка пересечения этих окружностей (отличная от $P$) будет лежать на искомом перпендикуляре. Обозначим ее $Q$.
4. Проведем прямую через точки $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ перпендикулярна прямой $a$.

Ответ: В обоих случаях построение сводится к нахождению двух точек, равноудаленных от двух точек на исходной прямой, и проведению через них прямой, которая и будет искомым перпендикуляром.

5. Как построить треугольник по трем элементам:

а) по двум сторонам и углу между ними;

Пусть даны отрезки $a$, $b$ и угол $\gamma$.

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $CB$, равный данному отрезку $a$.
2. От луча $CB$ в заданной полуплоскости откладываем угол, равный данному углу $\gamma$, с вершиной в точке $C$. Получим луч $CM$.
3. На луче $CM$ откладываем отрезок $CA$, равный данному отрезку $b$.
4. Соединяем точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Построение основано на последовательном откладывании одной стороны, затем угла от одного из ее концов, и затем второй стороны вдоль построенного луча.

б) по трем сторонам;

Пусть даны три отрезка $a, b, c$, удовлетворяющие неравенству треугольника ($a+b>c, a+c>b, b+c>a$).

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $BC$, равный одному из данных отрезков, например, $a$.
2. Из точки $B$ как из центра проводим окружность радиусом, равным отрезку $c$.
3. Из точки $C$ как из центра проводим окружность радиусом, равным отрезку $b$.
4. Точку пересечения этих двух окружностей обозначаем $A$.
5. Соединяем точку $A$ с точками $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Построение заключается в фиксации одной стороны и нахождении третьей вершины как точки пересечения двух окружностей, радиусы которых равны двум другим сторонам, а центры находятся в концах первого отрезка.

в) по стороне и двум прилежащим углам?

Пусть дан отрезок $c$ и два угла $\alpha$ и $\beta$, таких что их сумма меньше $180^\circ$.

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AB$, равный данному отрезку $c$.
2. От луча $AB$ в одной полуплоскости строим угол, равный $\alpha$, с вершиной в точке $A$. Получим луч $AM$.
3. От луча $BA$ в той же полуплоскости строим угол, равный $\beta$, с вершиной в точке $B$. Получим луч $BK$.
4. Точку пересечения лучей $AM$ и $BK$ обозначаем $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Построение выполняется путем откладывания данной стороны и последующего построения двух данных углов при ее концах. Третья вершина находится на пересечении построенных лучей.

6. Что такое задача на построение? В чем суть анализа, построения, доказательства и исследования?

Задача на построение — это задача, в которой требуется построить геометрическую фигуру, обладающую заданными свойствами, с помощью определенного набора инструментов. В классической геометрии этими инструментами являются циркуль (позволяет проводить окружности) и линейка без делений (позволяет проводить прямые линии).

Решение задачи на построение традиционно состоит из четырех этапов:

1. Анализ: Это подготовительный этап, на котором мы предполагаем, что искомая фигура уже построена. Затем мы изучаем свойства этой фигуры и связи между ее элементами и данными из условия задачи. Цель анализа — найти последовательность действий, которая приведет к построению искомой фигуры. Часто анализ сводится к поиску геометрического места точек (ГМТ), удовлетворяющих определенным условиям. Искомая точка или линия находится на пересечении таких ГМТ.
2. Построение: На этом этапе, на основе выводов, сделанных в ходе анализа, выполняется сама последовательность построений с помощью циркуля и линейки. Этот этап представляет собой четкий алгоритм, описание шагов, которые необходимо выполнить.
3. Доказательство: После того как фигура построена, необходимо доказать, что она действительно удовлетворяет всем условиям задачи. В доказательстве используются аксиомы, определения и теоремы геометрии для обоснования того, что построенный объект является именно тем, что требовалось.
4. Исследование: На этом заключительном этапе определяется, при каких условиях задача имеет решение и сколько решений она может иметь. Анализируются все шаги построения на предмет их выполнимости. Например, выясняется, всегда ли пересекаются построенные линии или окружности, и как это зависит от исходных данных. Исследование определяет область допустимых значений исходных данных и количество возможных решений (одно, два, бесконечно много или ни одного).

Ответ: Задача на построение — это создание фигуры с помощью циркуля и линейки. Ее решение включает анализ (поиск пути решения), построение (выполнение алгоритма), доказательство (проверка правильности) и исследование (определение условий и количества решений).

ПЗ 1. Постройте равносторонний треугольник со стороной, равной $5$ см.

2. Постройте равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $6$ см, а угол при вершине равен:

1) $60^\circ$;

2) $90^\circ$;

3) $120^\circ$.

1. Для построения равностороннего треугольника со стороной 5 см с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующие шаги:

1. С помощью линейки начертить отрезок AB длиной 5 см. Это будет первая сторона треугольника.

2. Установить раствор циркуля равным длине отрезка AB, то есть 5 см.

3. Провести дугу окружности с центром в точке A и радиусом 5 см.

4. Провести дугу окружности с центром в точке B и тем же радиусом 5 см так, чтобы она пересекла первую дугу.

5. Точку пересечения дуг обозначить как C.

6. Соединить точку C с точками A и B с помощью линейки.

Полученный треугольник ABC является равносторонним, так как по построению все его стороны равны 5 см: $AB = AC = BC = 5$ см. Все его углы также равны $60^\circ$.

Ответ: Построение выполнено.

2. 1) Для построения равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и углом при вершине $60^\circ$ с помощью линейки и транспортира, необходимо:

1. Начертить отрезок AB длиной 6 см. Это будет первая боковая сторона.

2. В точке A с помощью транспортира отложить от отрезка AB угол, равный $60^\circ$.

3. На луче, образующем этот угол, отложить от точки A отрезок AC длиной 6 см. Это будет вторая боковая сторона.

4. Соединить точки B и C.

В полученном треугольнике ABC боковые стороны $AB = AC = 6$ см, а угол при вершине $\angle A = 60^\circ$. Такой треугольник является не просто равнобедренным, а равносторонним. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит, углы при основании BC равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Так как все углы равны, то и все стороны равны, следовательно, основание $BC = 6$ см.

Ответ: Построение выполнено.

2. 2) Для построения равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и углом при вершине $90^\circ$ с помощью линейки и транспортира (или угольника), необходимо:

1. Начертить отрезок AB длиной 6 см (первая боковая сторона).

2. В точке A с помощью транспортира или угольника построить прямой угол ($90^\circ$) к отрезку AB.

3. На перпендикулярном луче отложить от точки A отрезок AC длиной 6 см (вторая боковая сторона).

4. Соединить точки B и C.

Полученный треугольник ABC является прямоугольным равнобедренным треугольником. Его боковые стороны (катеты) $AB = AC = 6$ см, а угол при вершине $\angle A = 90^\circ$. Углы при основании равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Длину основания (гипотенузы) BC можно найти по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: Построение выполнено.

2. 3) Для построения равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и углом при вершине $120^\circ$ с помощью линейки и транспортира, необходимо:

1. Начертить отрезок AB длиной 6 см (первая боковая сторона).

2. В точке A с помощью транспортира отложить от отрезка AB угол, равный $120^\circ$.

3. На втором луче угла отложить от точки A отрезок AC длиной 6 см (вторая боковая сторона).

4. Соединить точки B и C.

Полученный треугольник ABC является тупоугольным равнобедренным треугольником. Его боковые стороны $AB = AC = 6$ см, а угол при вершине $\angle A = 120^\circ$. Углы при основании равны $(180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. Длину основания BC можно найти по теореме косинусов: $BC = \sqrt{6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)} = \sqrt{72 - 72 \cdot (-0.5)} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: Построение выполнено.

4.33. Даны точки $A$ и $B$. Что представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от точек $A$ и $B$?

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих определенному свойству. В данной задаче свойство заключается в том, что каждая точка искомого множества, назовем ее $M$, должна быть равноудалена от двух заданных точек $A$ и $B$. Это означает, что для любой такой точки $M$ должно выполняться равенство длин отрезков: $MA = MB$.

Рассмотрим любую точку $M$, которая удовлетворяет этому условию. Соединим точки $A$, $B$ и $M$. Если эти три точки не лежат на одной прямой, они образуют треугольник $\triangle AMB$. Поскольку по условию две его стороны равны ($MA = MB$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Одним из ключевых свойств равнобедренного треугольника является то, что медиана, проведенная к его основанию, одновременно является и высотой, и биссектрисой. Проведем из вершины $M$ медиану к середине отрезка $AB$. Обозначим середину отрезка $AB$ буквой $C$. Тогда отрезок $MC$ является медианой и, следовательно, высотой треугольника $\triangle AMB$. Это означает, что $MC$ перпендикулярен $AB$ ($MC \perp AB$).

Таким образом, любая точка $M$, равноудаленная от точек $A$ и $B$, должна лежать на прямой, которая проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему. Такая прямая имеет специальное название — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Справедливо и обратное утверждение: любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка. Чтобы это доказать, возьмем произвольную точку $M$ на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Пусть $C$ — середина $AB$. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$. У них общий катет $MC$, а катеты $AC$ и $BC$ равны, так как $C$ — середина $AB$. По двум катетам, $\triangle AMC = \triangle BMC$. Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $MA = MB$.

В зависимости от того, рассматривается ли задача на плоскости или в пространстве, ответ будет немного отличаться:

1. На плоскости: Геометрическое место точек, равноудаленных от $A$ и $B$, — это прямая, а именно серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

2. В пространстве: Геометрическое место точек, равноудаленных от $A$ и $B$, — это плоскость, которая перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину.

Поскольку в школьном курсе геометрии без дополнительных уточнений задача обычно подразумевает рассмотрение на плоскости, основным ответом является серединный перпендикуляр.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от точек A и B, — это серединный перпендикуляр к отрезку AB. (В пространстве — это плоскость, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему).

4.34. Что представляет собой геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной точки?

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, которые обладают некоторым общим свойством. В данном случае, это свойство заключается в том, что все точки находятся на одном и том же, заданном расстоянии от одной, заданной точки.

Пусть задана точка $O$ и положительное число $R$, которое является расстоянием. Мы ищем все точки $M$, для которых расстояние от $O$ до $M$ строго равно $R$. Математически это условие можно записать как $OM = R$.

Фигура, которую образуют эти точки, зависит от того, рассматриваем мы задачу на плоскости или в пространстве.

1. На плоскости (двумерное пространство)

Если точки рассматриваются на плоскости, то их геометрическим местом является окружность. Заданная точка $O$ будет являться центром этой окружности, а заданное расстояние $R$ — её радиусом. В декартовых координатах, если центр $O$ имеет координаты $(x_0, y_0)$, то уравнение этой окружности будет:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

2. В пространстве (трёхмерное пространство)

Если точки рассматриваются в пространстве, то их геометрическим местом является сфера. Заданная точка $O$ будет центром этой сферы, а заданное расстояние $R$ — её радиусом. В декартовых координатах, если центр $O$ имеет координаты $(x_0, y_0, z_0)$, то уравнение этой сферы будет:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Поскольку в условии задачи не указана размерность пространства, то следует иметь в виду оба случая. Как правило, в курсе планиметрии (геометрии на плоскости) под этим ГМТ понимают окружность.

Ответ: На плоскости — это окружность, в пространстве — это сфера. В обоих случаях данная точка является центром фигуры, а данное расстояние — её радиусом.

4.35. Что представляет собой геометрическое место центров равных окружностей, проходящих через данную точку?

Пусть дана точка $A$ и семейство равных окружностей, проходящих через эту точку. Поскольку все окружности равны, их радиусы одинаковы. Обозначим этот радиус как $R$, где $R$ — постоянная положительная величина.

Пусть $O$ — центр произвольной окружности из этого семейства. По условию, эта окружность проходит через точку $A$. По определению окружности, расстояние от любой точки на ней до её центра равно радиусу. Следовательно, расстояние от точки $A$ до центра $O$ должно быть равно радиусу $R$.

Это условие можно записать математически как $|OA| = R$.

Данное равенство означает, что центр $O$ любой из рассматриваемых окружностей всегда находится на фиксированном расстоянии $R$ от фиксированной точки $A$.

Геометрическое место точек плоскости, находящихся на заданном положительном расстоянии от данной точки, является окружностью. В данном случае все центры $O$ находятся на расстоянии $R$ от точки $A$.

Таким образом, искомое геометрическое место центров — это окружность, центром которой является данная точка $A$, а радиус равен радиусу $R$ данных окружностей.

Ответ: Окружность с центром в данной точке и радиусом, равным радиусу данных окружностей.