Страница 59 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПЗ С помощью монеты или какого-либо другого шаблона начертите окружность и постройте на глаз ее центр. Попробуйте указать методы нахождения точного места центра окружности (в случае, если центр не указан).

Построение окружности и определение ее центра на глаз

Для выполнения первой части задания необходимо взять круглый предмет, например монету, и положить его на лист бумаги. Затем, придерживая монету, нужно обвести ее карандашом или ручкой по контуру. В результате на бумаге получится изображение окружности. После этого необходимо визуально, без использования измерительных инструментов, оценить, где может находиться центр этой окружности. Центр — это точка, равноудаленная от всех точек на линии окружности. Отметьте эту предполагаемую точку. Этот метод является неточным и носит оценочный характер.

Ответ: Окружность чертится с помощью шаблона (например, монеты), а ее центр определяется приблизительно, на глаз, как точка, которая кажется равноудаленной от всех краев нарисованной фигуры.

Методы нахождения точного места центра окружности

Существует несколько геометрических методов для точного определения центра окружности. Ниже описаны два из них.

Метод 1: С помощью срединных перпендикуляров к хордам

Этот метод основан на свойстве, что срединный перпендикуляр к любой хорде окружности всегда проходит через ее центр. Порядок действий:

1. Начертите на окружности две произвольные, непараллельные хорды. Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности. Обозначим их как $AB$ и $CD$.

2. С помощью циркуля и линейки постройте срединный перпендикуляр к хорде $AB$. Для этого из точек $A$ и $B$ проведите две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина длины хорды) с обеих сторон от хорды. Соедините точки пересечения этих дуг прямой линией. Эта линия и есть срединный перпендикуляр $p_1$.

3. Аналогично постройте срединный перпендикуляр $p_2$ к хорде $CD$.

4. Точка пересечения этих двух срединных перпендикуляров ($p_1 \cap p_2$) и будет являться точным центром окружности. Обозначим его как точка $O$.

Метод 2: С помощью прямого угла

Этот метод использует теорему Фалеса, согласно которой угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, является прямым ($90^\circ$). Порядок действий:

1. Возьмите инструмент с прямым углом, например, чертежный угольник или даже угол листа бумаги.

2. Приложите вершину прямого угла к любой точке $C$ на окружности.

3. Отметьте точки $A$ и $B$, в которых стороны угла пересекают окружность.

4. Соедините точки $A$ и $B$ отрезком. Согласно теореме, отрезок $AB$ является диаметром окружности.

5. Повторите процедуру, приложив вершину прямого угла к другой точке $D$ на окружности, и получите второй диаметр $EF$.

6. Точка пересечения двух диаметров $AB$ и $EF$ является центром окружности $O$. В качестве альтернативы, можно найти середину одного любого найденного диаметра — это и будет центр.

Ответ: Точный центр окружности можно найти, построив точку пересечения срединных перпендикуляров к двум любым непараллельным хордам этой окружности, либо найдя точку пересечения двух ее диаметров, которые можно построить с помощью прямого угла.

1. Что такое окружность, центр окружности, радиус?

2. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?

3. Какая окружность называется описанной около треугольника?

4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

5. Какая прямая называется касательной к окружности?

6. Что значит «окружности касаются друг друга»?

7. Какое касание окружностей называется внешним, какое – внутренним?

8. Какая окружность называется вписанной в треугольник?

9. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

1. Что такое окружность, центр окружности, радиус?

Окружность — это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из всех точек, равноудаленных от одной заданной точки.

Эта заданная точка называется центром окружности. Обычно ее обозначают буквой $O$.

Радиус — это расстояние от центра окружности до любой ее точки. Радиусом также называют любой отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой. Длина радиуса обычно обозначается буквой $r$ или $R$. Все радиусы одной окружности равны между собой.

Ответ: Окружность — множество точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром. Радиус — это это расстояние, а также отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.

2. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?

Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности.

Диаметр — это хорда, которая проходит через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой окружности. Его длина, обозначаемая буквой $d$, равна двум радиусам: $d = 2r$.

Ответ: Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности.

3. Какая окружность называется описанной около треугольника?

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все три вершины этого треугольника. В этом случае говорят также, что треугольник вписан в окружность. Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Ответ: Описанной около треугольника называется окружность, которая проходит через все три его вершины.

4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Пусть дана окружность, описанная около треугольника $\triangle ABC$. Обозначим центр этой окружности точкой $O$.

По определению описанной окружности, все вершины треугольника лежат на ней. Следовательно, расстояния от центра $O$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны радиусу $R$ этой окружности: $OA = OB = OC = R$.

Рассмотрим отрезок $AB$. Поскольку $OA = OB$, точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AB$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Значит, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$.

Аналогично, из равенства $OB = OC$ следует, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.

Из равенства $OA = OC$ следует, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Таким образом, точка $O$ принадлежит всем трем серединным перпендикулярам к сторонам треугольника $\triangle ABC$, а значит, является точкой их пересечения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Центр описанной окружности равноудален от всех вершин треугольника, а множество точек, равноудаленных от двух данных точек (вершин), является серединным перпендикуляром к отрезку (стороне), их соединяющему. Следовательно, центр лежит на пересечении всех трех серединных перпендикуляров.

5. Какая прямая называется касательной к окружности?

Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эта общая точка называется точкой касания.

Важное свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Ответ: Касательная — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

6. Что значит «окружности касаются друг друга»?

Говорят, что две окружности касаются друг друга, если они имеют ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей.

Точка касания двух окружностей всегда лежит на прямой, соединяющей их центры.

Ответ: Это означает, что две окружности имеют только одну общую точку.

7. Какое касание окружностей называется внешним, какое – внутренним?

Касание двух окружностей бывает двух видов:

1. Внешнее касание — это касание, при котором центры окружностей лежат по разные стороны от их общей точки касания. В этом случае расстояние $d$ между центрами окружностей равно сумме их радиусов: $d = R_1 + R_2$.

2. Внутреннее касание — это касание, при котором центры окружностей лежат по одну сторону от их общей точки касания (одна окружность находится внутри другой). В этом случае расстояние $d$ между центрами окружностей равно модулю разности их радиусов: $d = |R_1 - R_2|$.

Ответ: При внешнем касании центры окружностей лежат по разные стороны от точки касания, при внутреннем — по одну сторону.

8. Какая окружность называется вписанной в треугольник?

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех сторон этого треугольника. В этом случае говорят, что треугольник описан около окружности. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Ответ: Вписанной в треугольник называется окружность, которая касается всех трех его сторон.

9. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Пусть дана окружность, вписанная в треугольник $\triangle ABC$. Обозначим ее центр точкой $I$.

По определению вписанной окружности, она касается всех трех сторон треугольника. Это означает, что расстояния от центра $I$ до каждой из сторон равны радиусу $r$ этой окружности. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Пусть $r_a$, $r_b$, $r_c$ — расстояния от точки $I$ до сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Тогда $r_a = r_b = r_c = r$.

Рассмотрим угол $\angle A$, образованный сторонами $AB$ и $AC$. Точка $I$ равноудалена от сторон этого угла, так как $r_c = r_b = r$. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, есть его биссектриса. Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$.

Аналогично, из равенства $r_c = r_a$ следует, что точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle B$.

Из равенства $r_b = r_a$ следует, что точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle C$.

Таким образом, точка $I$ принадлежит всем трем биссектрисам углов треугольника, а значит, является точкой их пересечения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Центр вписанной окружности равноудален от всех сторон треугольника, а множество точек, равноудаленных от сторон угла, является его биссектрисой. Следовательно, центр лежит на пересечении всех трех биссектрис.

4.1. Радиус окружности равен 2,5 см. Найдите ее диаметр. Может ли ее хорда быть равной 6 см?

Найдите ее диаметр.

Диаметр окружности ($d$) в два раза больше ее радиуса ($r$). Связь между ними выражается формулой $d = 2 \cdot r$. По условию задачи, радиус окружности равен $r = 2,5$ см. Подставив это значение в формулу, найдем диаметр: $d = 2 \cdot 2,5 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Ответ: диаметр окружности равен 5 см.

Может ли ее хорда быть равной 6 см?

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки на окружности. Важным свойством является то, что длина любой хорды не может превышать длину диаметра. Самая длинная хорда в окружности — это и есть ее диаметр. Как было вычислено ранее, диаметр данной окружности равен 5 см. Длина хорды, о которой спрашивается в задаче, — 6 см. Сравним длину предполагаемой хорды с диаметром: $6 \text{ см} > 5 \text{ см}$. Поскольку длина хорды (6 см) больше длины диаметра (5 см), такая хорда в данной окружности существовать не может.

Ответ: нет, не может.

4.2. Докажите, что хорда окружности, не проходящая через центр, меньше диаметра.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Пусть $AB$ — хорда данной окружности, которая по условию не проходит через центр $O$. Концы хорды, точки $A$ и $B$, лежат на окружности. Соединим центр окружности $O$ с точками $A$ и $B$. Полученные отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому их длины равны $R$:

$OA = R$ и $OB = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Его сторонами являются два радиуса $OA$, $OB$ и хорда $AB$. Так как хорда $AB$ не проходит через центр $O$, точки $A$, $O$ и $B$ не лежат на одной прямой (не коллинеарны), а значит, они действительно образуют треугольник.

Воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Применительно к стороне $AB$ треугольника $\triangle AOB$, это неравенство записывается так:

$AB < OA + OB$

Подставим в это неравенство длины радиусов:

$AB < R + R$

$AB < 2R$

Диаметр окружности $D$ по определению равен двум радиусам, то есть $D = 2R$.

Следовательно, мы получаем, что длина хорды $AB$ меньше диаметра $D$:

$AB < D$

Таким образом, доказано, что любая хорда окружности, не проходящая через ее центр, меньше диаметра. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Хорда, не проходящая через центр, и два радиуса, проведенные к ее концам, образуют треугольник. По неравенству треугольника, длина хорды ($AB$) меньше суммы длин двух других сторон (двух радиусов, $R+R$). Так как сумма двух радиусов равна диаметру ($D=2R$), то хорда меньше диаметра ($AB < D$).

4.3. Даны окружность и отрезок. Постройте хорду, равную данному отрезку.

Для построения хорды, равной данному отрезку, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку без делений.

Анализ

Пусть дана окружность $ω$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и отрезок, длина которого равна $a$. Требуется построить хорду $AB$ окружности $ω$ так, чтобы ее длина была равна $a$.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Самая длинная хорда в окружности — это ее диаметр, длина которого равна $2R$. Следовательно, задача имеет решение только в том случае, если длина данного отрезка $a$ не превышает длину диаметра окружности, то есть при выполнении условия $a \le 2R$. Будем считать, что это условие выполнено.

Построение

1. На данной окружности $ω$ выбираем произвольную точку. Обозначим ее буквой $A$. Эта точка будет одним из концов искомой хорды.
2. С помощью циркуля измеряем длину данного отрезка $a$. Для этого устанавливаем иглу циркуля на один конец отрезка, а грифель — на другой.
3. Не меняя раствора циркуля (который равен $a$), устанавливаем иглу циркуля в точку $A$ на окружности.
4. Проводим дугу так, чтобы она пересекла данную окружность $ω$. Точку пересечения обозначим буквой $B$.
5. С помощью линейки соединяем точки $A$ и $B$.

Отрезок $AB$ является искомой хордой.

Доказательство

По построению, точка $A$ принадлежит окружности $ω$. Точка $B$ также принадлежит окружности $ω$, так как она является точкой пересечения окружности $ω$ и дуги, проведенной из точки $A$. Следовательно, отрезок $AB$, соединяющий две точки на окружности, является ее хордой.

Расстояние между точками $A$ и $B$ равно радиусу дуги, которую мы построили с центром в точке $A$. Этот радиус по построению равен длине данного отрезка $a$. Таким образом, длина хорды $AB$ равна $a$. Построение выполнено верно.

Исследование

Анализ количества решений в зависимости от соотношения длины отрезка $a$ и диаметра $2R$:

• Если $a > 2R$, то окружность с центром в точке $A$ и радиусом $a$ не будет иметь общих точек с исходной окружностью $ω$. В этом случае задача не имеет решений.
• Если $a = 2R$, то дуга радиусом $a$ из точки $A$ коснется окружности $ω$ в одной точке $B$, которая диаметрально противоположна точке $A$. Построенная хорда $AB$ будет являться диаметром. Так как начальную точку $A$ можно выбрать на окружности бесконечным числом способов, существует бесконечное множество таких хорд.
• Если $a < 2R$, то дуга радиусом $a$ из точки $A$ пересечет окружность $ω$ в двух точках. Выбрав любую из них в качестве точки $B$, мы получим искомую хорду. Так как выбор начальной точки $A$ произволен, задача имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Искомая хорда строится путем выбора произвольной точки $A$ на окружности, измерения длины $a$ данного отрезка циркулем и проведения из точки $A$ дуги радиусом $a$ до пересечения с окружностью в точке $B$. Отрезок $AB$ является искомой хордой. Построение возможно, если длина отрезка не превышает диаметр окружности ($a \le 2R$).

4.4. Дана окружность с центром $O$. Точка $A$ является внутренней точкой этой окружности. В скольких точках пересекает окружность:

1) прямая $OA$;

2) луч $OA$;

3) отрезок $OA$?

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ является внутренней точкой этой окружности, это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $A$ меньше радиуса окружности: $OA < R$.

1) прямая ОА

Прямая $ОА$ проходит через центр окружности $О$. Любая прямая, проходящая через центр окружности, пересекает ее в двух диаметрально противоположных точках. Поскольку прямая бесконечна в обе стороны от центра $О$, она обязательно пересечет окружность дважды.

Ответ: 2.

2) луч ОА

Луч $ОА$ начинается в центре окружности (точка $О$) и проходит через точку $А$, продолжаясь бесконечно в этом направлении. Так как начальная точка луча ($O$) находится внутри окружности, а сам луч уходит на бесконечность, он должен пересечь границу окружности. Поскольку луч идет от центра строго в одном направлении, он пересечет окружность ровно в одной точке. Эта точка будет находиться на расстоянии $R$ от точки $O$.

Ответ: 1.

3) отрезок ОА

Отрезок $ОА$ соединяет центр окружности $О$ с ее внутренней точкой $А$. По определению внутренней точки, расстояние $OA$ строго меньше радиуса $R$ ($OA < R$). Для любой точки $P$, принадлежащей отрезку $OA$, ее расстояние до центра $O$ будет удовлетворять неравенству $0 \le OP \le OA$. Следовательно, для любой точки $P$ на отрезке $OA$ выполняется $OP < R$. Это означает, что все точки отрезка $ОА$ являются внутренними точками окружности и ни одна из них не лежит на самой окружности (где расстояние до центра равно $R$). Таким образом, отрезок $ОА$ не имеет общих точек с окружностью.

Ответ: 0.

4.5. Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются друг друга. Найдите расстояние между центрами окружностей в случаях внешнего и внутреннего касаний (рис. 4.12).

Рис. 4.12

Внешнее касание

При внешнем касании двух окружностей, как показано на левой части рисунка 4.12, расстояние между их центрами ($O_1$ и $O_2$) равно сумме их радиусов. Точка касания лежит на отрезке, соединяющем центры окружностей.

Пусть радиусы окружностей равны $R_1 = 30$ см и $R_2 = 40$ см.

Расстояние $d$ между центрами находится по формуле:

$d = R_1 + R_2$

Подставляем значения радиусов:

$d = 30 \text{ см} + 40 \text{ см} = 70 \text{ см}$

Ответ: 70 см.

Внутреннее касание

При внутреннем касании, как показано на правой части рисунка 4.12, одна окружность находится внутри другой. Центры окружностей и точка касания лежат на одной прямой. Расстояние между центрами равно разности большего и меньшего радиусов.

Пусть больший радиус $R_2 = 40$ см, а меньший $R_1 = 30$ см.

Расстояние $d$ между центрами находится по формуле:

$d = R_2 - R_1$

Подставляем значения радиусов:

$d = 40 \text{ см} - 30 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Ответ: 10 см.