Номер 4.3, страница 59 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.3. Даны окружность и отрезок. Постройте хорду, равную данному отрезку.

Для построения хорды, равной данному отрезку, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку без делений.

Анализ

Пусть дана окружность $ω$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и отрезок, длина которого равна $a$. Требуется построить хорду $AB$ окружности $ω$ так, чтобы ее длина была равна $a$.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Самая длинная хорда в окружности — это ее диаметр, длина которого равна $2R$. Следовательно, задача имеет решение только в том случае, если длина данного отрезка $a$ не превышает длину диаметра окружности, то есть при выполнении условия $a \le 2R$. Будем считать, что это условие выполнено.

Построение

1. На данной окружности $ω$ выбираем произвольную точку. Обозначим ее буквой $A$. Эта точка будет одним из концов искомой хорды.
2. С помощью циркуля измеряем длину данного отрезка $a$. Для этого устанавливаем иглу циркуля на один конец отрезка, а грифель — на другой.
3. Не меняя раствора циркуля (который равен $a$), устанавливаем иглу циркуля в точку $A$ на окружности.
4. Проводим дугу так, чтобы она пересекла данную окружность $ω$. Точку пересечения обозначим буквой $B$.
5. С помощью линейки соединяем точки $A$ и $B$.

Отрезок $AB$ является искомой хордой.

Доказательство

По построению, точка $A$ принадлежит окружности $ω$. Точка $B$ также принадлежит окружности $ω$, так как она является точкой пересечения окружности $ω$ и дуги, проведенной из точки $A$. Следовательно, отрезок $AB$, соединяющий две точки на окружности, является ее хордой.

Расстояние между точками $A$ и $B$ равно радиусу дуги, которую мы построили с центром в точке $A$. Этот радиус по построению равен длине данного отрезка $a$. Таким образом, длина хорды $AB$ равна $a$. Построение выполнено верно.

Исследование

Анализ количества решений в зависимости от соотношения длины отрезка $a$ и диаметра $2R$:

• Если $a > 2R$, то окружность с центром в точке $A$ и радиусом $a$ не будет иметь общих точек с исходной окружностью $ω$. В этом случае задача не имеет решений.
• Если $a = 2R$, то дуга радиусом $a$ из точки $A$ коснется окружности $ω$ в одной точке $B$, которая диаметрально противоположна точке $A$. Построенная хорда $AB$ будет являться диаметром. Так как начальную точку $A$ можно выбрать на окружности бесконечным числом способов, существует бесконечное множество таких хорд.
• Если $a < 2R$, то дуга радиусом $a$ из точки $A$ пересечет окружность $ω$ в двух точках. Выбрав любую из них в качестве точки $B$, мы получим искомую хорду. Так как выбор начальной точки $A$ произволен, задача имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Искомая хорда строится путем выбора произвольной точки $A$ на окружности, измерения длины $a$ данного отрезка циркулем и проведения из точки $A$ дуги радиусом $a$ до пересечения с окружностью в точке $B$. Отрезок $AB$ является искомой хордой. Построение возможно, если длина отрезка не превышает диаметр окружности ($a \le 2R$).